線形代数の問題

方針 ベクトルが一次独立であるとは、$c_1{\mathbf{v}}_1+c_2{\mathbf{v}}_2+c_3{\mathbf{v}}_3=0$ を満たす実数 $c_1,c_2,c_3$ が $c_1=c_2=c_3=0$ に限ることである。そうでない（自明でない解がある）とき一次従属である。そこで、この式を連立 1 次方程式とみて、解が $c_1=c_2=c_3=0$ だけかどうかを調べる。

連立 1 次方程式に直す $c_1{\mathbf{v}}_1+c_2{\mathbf{v}}_2+c_3{\mathbf{v}}_3=0$ を成分で書くと
$$\{\begin{array}{l}{c}_1+c_2+2c_3=0\\ c_1+2c_2+c_3=0\\ 2c_1+3c_2+a{c}_3=0\end{array}$$
となる。係数行列は ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{v}}_3$ を列に並べた行列
$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 1& 2& 1\\ 2& 3& a\end{array}\right)$$
である。

掃き出し法 第 2 行から第 1 行を引き、第 3 行から第 1 行の 2 倍を引くと
$$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 0& 1& -1\\ 0& 1& a-4\end{array}\right)$$
さらに第 3 行から第 2 行を引くと
$$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 0& 1& -1\\ 0& 0& a-3\end{array}\right)$$
となる。

判定 同次連立 1 次方程式が自明でない解をもつのは、係数行列の階数が未知数の個数 $3$ より小さいときである。
- $a\ne 3$ のとき：$\mathrm{rank}A=3$ なので解は $c_1=c_2=c_3=0$ だけであり、一次独立。
- $a=3$ のとき：第 3 行がすべて $0$ になり $\mathrm{rank}A=2<3$ なので、自由度 $1$ の解があり、一次従属。

実際、$a=3$ のとき $c_3=t$ とおくと $c_2=t,c_1=-3t$ となり、$t=1$ として $-3{\mathbf{v}}_1+{\mathbf{v}}_2+{\mathbf{v}}_3=0$、すなわち ${\mathbf{v}}_3=3{\mathbf{v}}_1-{\mathbf{v}}_2$ が成り立つ（成分で確かめると $3\cdot (1,1,2)-(1,2,3)=(2,1,3)$）。

よって求める値は $a=3$ である。

3 つのベクトルが一次従属になる条件は、これらを並べた行列の行列式が 0 になることである。
$$\det \left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 1& 2& 1\\ 2& 3& a\end{array}\right)$$
第 1 行で余因子展開すると
$1\cdot (2a-3)-1\cdot (a-2)+2\cdot (3-4)=2a-3-a+2-2=a-3$。
よって $a-3=0$ より $a=3$。

検算: $a=3$ のとき $x{\mathbf{v}}_1+y{\mathbf{v}}_2={\mathbf{v}}_3$ を考えると、$x+y=2$、$x+2y=1$ より $y=-1,x=3$。第 3 成分は $2x+3y=6-3=3=a$ で成り立つ。つまり ${\mathbf{v}}_3=3{\mathbf{v}}_1-{\mathbf{v}}_2$ で一次従属である。

答え: $a=3$