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線形代数の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学数学線形代数

$R^{3}$ に標準内積を考え、
$a_{1} = 110, a_{2} = 011, b = 123$
とする。 $a_{1}, a_{2}$ の張る部分空間を $W$ とし、 $b$ の $W$ への直交射影を $p$ とするとき、 $∥ b - p ∥$ を求めよ。

この問題で使うもの

直交射影と最小二乗法（説明と入口の問題）
内積空間とグラム・シュミットの直交化（説明と入口の問題）
内積となす角（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（38 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$W$ の正規直交基底をグラム・シュミットの直交化で作り、それを使って直交射影を計算しましょう。

ヒント 2

正規直交基底 $u_{1}, u_{2}$ を用いると $p = (b, u_{1}) u_{1} + (b, u_{2}) u_{2}$ です。

ヒント 3

$u_{1} = \frac{1}{2} (1, 1, 0)^{T}, u_{2} = \frac{1}{6} (- 1, 1, 2)^{T}$ となります。 $p$ を求めて $b - p$ の長さを計算しましょう。

答えと解説

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\frac{2 3}{3}

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解説を読む

グラム・シュミットの直交化　
$u_{1} = \frac{a _{1}}{∥ a _{1} ∥} = \frac{1}{2} 110$
$(a_{2}, u_{1}) = \frac{1}{2}$ より
$a_{2} - (a_{2}, u_{1}) u_{1} = 011 - \frac{1}{2} 110 = \frac{1}{2} - 1 12$
これを正規化して $u_{2} = \frac{1}{6} - 1 12$ 。

直交射影　 $p = (b, u_{1}) u_{1} + (b, u_{2}) u_{2}$ である。 $(b, u_{1}) = \frac{3}{2}$ 、 $(b, u_{2}) = \frac{- 1 + 2 + 6}{6} = \frac{7}{6}$ より
$p = \frac{3}{2} 110 + \frac{7}{6} - 1 12 = \frac{1}{3} 187$

距離
$b - p = \frac{1}{3} 2 - 2 2, ∥ b - p ∥ = \frac{1}{3} 4 + 4 + 4 = \frac{2 3}{3}$
（確認: $b - p$ は $a_{1}, a_{2}$ のどちらとも内積が $0$ である。）

別解

$b - p$ は $W$ の直交補空間の成分なので、その長さは $W$ の法線ベクトル方向への $b$ の成分の大きさに等しい。

$W$ の法線: $n = a_{1} \times a_{2} = (1 \cdot 1 - 0 \cdot 1, 0 \cdot 0 - 1 \cdot 1, 1 \cdot 1 - 1 \cdot 0) = (1, - 1, 1)$ 。 $∥ n ∥ = 3$ 。
$b \cdot n = 1 - 2 + 3 = 2$ 。
$∥ b - p ∥ = \frac{∣ b \cdot n ∣}{∥ n ∥} = \frac{2}{3} = \frac{2 3}{3} .$

検算（正規方程式）: $p = s a_{1} + t a_{2}$ として $(2112) (s t) = (35)$ を解くと $s = \frac{1}{3}, t = \frac{7}{3}$ 。 $p = (\frac{1}{3}, \frac{8}{3}, \frac{7}{3})$ 、 $b - p = (\frac{2}{3}, - \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$ 。長さの二乗は $\frac{12}{9} = \frac{4}{3}$ 、長さは $\frac{2}{3}$ で一致する。

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