線形代数の問題

$\Vert \mathbf{b}-\mathbf{w}\Vert$ が最小になるのは、$\mathbf{w}$ が $\mathbf{b}$ の $W$ への直交射影 $P_W\mathbf{b}$ のときであり、最小値は $\Vert \mathbf{b}-P_W\mathbf{b}\Vert$ である。実際、$\mathbf{b}-P_W\mathbf{b}\perp W$ より、任意の $\mathbf{w}\in W$ に対しピタゴラスの定理から $\Vert \mathbf{b}-\mathbf{w}{\Vert }^2=\Vert \mathbf{b}-P_W\mathbf{b}{\Vert }^2+\Vert P_W\mathbf{b}-\mathbf{w}{\Vert }^2$ となるからである。

グラム・シュミットの直交化で $W$ の直交基底を作る。${\mathbf{v}}_1={\mathbf{a}}_1$ とおくと $\Vert {\mathbf{v}}_1{\Vert }^2=4$、$({\mathbf{a}}_2,{\mathbf{v}}_1)=0+1+2+3=6$ なので
$${\mathbf{a}}_2-\frac{6}{4}{\mathbf{v}}_1=\left(\begin{array}{c}-3/2\\ -1/2\\ 1/2\\ 3/2\end{array}\right).$$
これを $2$ 倍して ${\mathbf{v}}_2=\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ 1\\ 3\end{array}\right)$ とおく（定数倍しても直交性と張る空間は変わらない）。$\Vert {\mathbf{v}}_2{\Vert }^2=9+1+1+9=20$ である。

${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2$ は $W$ の直交基底なので
$$P_W\mathbf{b}=\frac{(\mathbf{b},{\mathbf{v}}_1)}{\Vert {\mathbf{v}}_1{\Vert }^2}{\mathbf{v}}_1+\frac{(\mathbf{b},{\mathbf{v}}_2)}{\Vert {\mathbf{v}}_2{\Vert }^2}{\mathbf{v}}_2.$$
ここで $(\mathbf{b},{\mathbf{v}}_1)=1+3+2+6=12$、$(\mathbf{b},{\mathbf{v}}_2)=-3-3+2+18=14$。

$\mathbf{b}-P_W\mathbf{b}$ と $P_W\mathbf{b}$ は直交するので
$$\Vert \mathbf{b}-P_W\mathbf{b}{\Vert }^2=\Vert \mathbf{b}{\Vert }^2-\Vert P_W\mathbf{b}{\Vert }^2=\Vert \mathbf{b}{\Vert }^2-\frac{(\mathbf{b},{\mathbf{v}}_1{)}^2}{\Vert {\mathbf{v}}_1{\Vert }^2}-\frac{(\mathbf{b},{\mathbf{v}}_2{)}^2}{\Vert {\mathbf{v}}_2{\Vert }^2}.$$
$\Vert \mathbf{b}{\Vert }^2=1+9+4+36=50$ なので
$$\Vert \mathbf{b}-P_W\mathbf{b}{\Vert }^2=50-\frac{144}{4}-\frac{196}{20}=50-36-\frac{49}{5}=\frac{21}{5}.$$

（確認）実際に $P_W\mathbf{b}=3{\mathbf{v}}_1+\frac{7}{10}{\mathbf{v}}_2={\left(\frac{9}{10},\frac{23}{10},\frac{37}{10},\frac{51}{10}\right)}^T$ で、$\mathbf{b}-P_W\mathbf{b}=\frac{1}{10}(1,7,-17,9{)}^T$ は ${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2$ の両方と直交し、そのノルムの 2 乗は $\frac{1+49+289+81}{100}=\frac{420}{100}=\frac{21}{5}$ となり一致する。

よって求める最小値は
$$\sqrt{\frac{21}{5}}=\frac{\sqrt{105}}{5}.$$

最小値は $\mathbf{b}$ の $W$ への正射影 ${\mathbf{w}}_0=x{\mathbf{a}}_1+y{\mathbf{a}}_2$ との距離である。$({\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_1)=4$, $({\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2)=6$, $({\mathbf{a}}_2,{\mathbf{a}}_2)=14$, $(\mathbf{b},{\mathbf{a}}_1)=12$, $(\mathbf{b},{\mathbf{a}}_2)=25$ より、正規方程式は $4x+6y=12$, $6x+14y=25$ となる。これを解くと $y=7/5$, $x=9/10$ である。よって ${\mathbf{w}}_0=(0.9,2.3,3.7,5.1{)}^T$ で、$\mathbf{b}-{\mathbf{w}}_0=(0.1,0.7,-1.7,0.9{)}^T$ となる。検算として、${\mathbf{a}}_1$ との内積は $0.1+0.7-1.7+0.9=0$、${\mathbf{a}}_2$ との内積は $0.7-3.4+2.7=0$ で、直交している。$\Vert \mathbf{b}-{\mathbf{w}}_0{\Vert }^2=0.01+0.49+2.89+0.81=4.2=21/5$。したがって最小値は $\sqrt{21/5}=\sqrt{105}/5$ である。