線形代数の問題

$W_1$ の次元. ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2$ は互いに定数倍ではないので 1 次独立である。また
$${\mathbf{v}}_1+{\mathbf{v}}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 1\\ 2\end{array}\right)={\mathbf{v}}_3,2{\mathbf{v}}_1-{\mathbf{v}}_2=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -1\\ 1\end{array}\right)={\mathbf{v}}_4$$
なので、${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2$ が $W_1$ の基底であり、$\dim W_1=2$ である。

$W_2$ の次元. $W_2$ は係数行列 $\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 1& 0\\ 0& 1& 0& -1\end{array}\right)$（階数 $2$）の連立 1 次方程式の解空間なので、$\dim W_2=4-2=2$ である。実際、$x_3=s,x_4=t$ とおくと $x_2=t,x_1=t-s$ となり、基底として ${\mathbf{w}}_1={}^t(-1,0,1,0),{\mathbf{w}}_2={}^t(1,1,0,1)$ がとれる。

共通部分. $W_1$ の元は $s{\mathbf{v}}_1+t{\mathbf{v}}_2={}^t(s,2s+t,t,s+t)$ と書ける。これが $W_2$ に属する条件は
$$s-(2s+t)+t=-s=0,(2s+t)-(s+t)=s=0$$
であり、$s=0$（$t$ は任意）と同値である。よって $W_1\cap W_2=\{t{\mathbf{v}}_2\}$ で、${\mathbf{v}}_2\ne 0$ より $\dim (W_1\cap W_2)=1$。

和空間. 次元公式 $\dim (W_1+W_2)=\dim W_1+\dim W_2-\dim (W_1\cap W_2)$ より
$$\dim (W_1+W_2)=2+2-1=3.$$
（確認：${\mathbf{v}}_2={\mathbf{w}}_1+{\mathbf{w}}_2$ であり、$a{\mathbf{w}}_1+b{\mathbf{w}}_2={}^t(-a+b,b,a,b)={\mathbf{v}}_1$ とすると $a=0$ かつ $b=2,b=1$ となり矛盾するので、${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{w}}_1,{\mathbf{w}}_2$ は 1 次独立。よって $W_1+W_2$ の次元は $3$。）

答えは $(1,3)$ である。

${\mathbf{v}}_3={\mathbf{v}}_1+{\mathbf{v}}_2$、${\mathbf{v}}_4=2{\mathbf{v}}_1-{\mathbf{v}}_2$ が成り立つ。${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2$ は明らかに一次独立なので、$W_1$ は ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2$ で張られ、$\dim W_1=2$。

$W_2$ は独立な 2 本の方程式で定まるので、$\dim W_2=4-2=2$。

$W_1$ の元 $a{\mathbf{v}}_1+b{\mathbf{v}}_2=(a,2a+b,b,a+b{)}^T$ が $W_2$ に入る条件を調べる。
- $x_1-x_2+x_3=a-(2a+b)+b=-a=0$
- $x_2-x_4=(2a+b)-(a+b)=a=0$

よって $a=0$ で、$b$ は任意。$W_1\cap W_2=\mathrm{span}\{{\mathbf{v}}_2\}$ なので $\dim (W_1\cap W_2)=1$。

次元公式より $\dim (W_1+W_2)=2+2-1=3$。

検算: ${\mathbf{v}}_2=(0,1,1,1{)}^T$ について $0-1+1=0$、$1-1=0$ なので ${\mathbf{v}}_2\in W_2$ で、上の結果と一致する。