線形代数の問題

方針 同次連立 1 次方程式の解全体 $W$ の基底を求め、基底のベクトルの個数を数える。

1. 係数行列を階段行列にする

係数行列を
$$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 1\\ 2& 4& -1& 3\\ 1& 2& 0& 2\end{array}\right)$$
とする。第 2 行から第 1 行の $2$ 倍を引き、第 3 行から第 1 行を引くと
$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 1\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 1& 1\end{array}\right)$$
となる。さらに第 3 行から第 2 行を引き、第 1 行に第 2 行を加えると
$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 2\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$
となる。よって $\mathrm{rank}A=2$ である。3 番目の式は、ほかの 2 つの式から導かれる余分な条件だったことがわかる。

2. 一般解を求める

階段行列から、もとの連立方程式は
$$x_1+2x_2+2x_4=0,x_3+x_4=0$$
と同値である。主成分のない列に対応する $x_2,x_4$ を自由な変数とし、$x_2=s,x_4=t$（$s,t$ は実数）とおくと、$x_3=-t,x_1=-2s-2t$ である。したがって
$$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{array}\right)=s\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ -1\\ 1\end{array}\right)$$
となる。

3. 基底であることを確かめる

${\mathbf{u}}_1=\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right),{\mathbf{u}}_2=\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ -1\\ 1\end{array}\right)$ とおく。2 で見たように、$W$ のすべてのベクトルは ${\mathbf{u}}_1,{\mathbf{u}}_2$ の一次結合で表せる。

次に一次独立であることを確かめる。$s{\mathbf{u}}_1+t{\mathbf{u}}_2=0$ とすると、第 2 成分を比べて $s=0$、第 4 成分を比べて $t=0$ である。よって ${\mathbf{u}}_1,{\mathbf{u}}_2$ は一次独立である。

以上より $\{{\mathbf{u}}_1,{\mathbf{u}}_2\}$ は $W$ の基底である。基底のベクトルは 2 個なので
$$\dim W=2$$
である。これは「未知数の個数 $-$ 係数行列の階数」$=4-2=2$ とも一致する。

係数行列は
$$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 1\\ 2& 4& -1& 3\\ 1& 2& 0& 2\end{array}\right)$$
行基本変形を行う。第2行 $-2\times$ 第1行 は $(0,0,1,1)$。第3行 $-$ 第1行 は $(0,0,1,1)$。
第3行から第2行を引くと零行になる。
よって階数は 2（第1行と $(0,0,1,1)$ は1次独立）。
次元定理より $\dim W=4-\mathrm{rank}A=4-2=2$。

検算: 解は $x_3=-x_4$、$x_1+2x_2-(-x_4)+x_4=0$ より $x_1=-2x_2-2x_4$。自由変数は $x_2,x_4$ の2個。例えば $(-2,1,0,0)$ を各式に代入すると、1式目 $-2+2=0$、2式目 $-4+4=0$、3式目 $-2+2=0$ で成立。$(-2,0,-1,1)$ は、1式目 $-2+1+1=0$、2式目 $-4+1+3=0$、3式目 $-2+0+2=0$ で成立。よって次元は 2。