線形代数の問題

$\Vert \mathbf{b}-\mathbf{w}\Vert$ を最小にする $\mathbf{w}$ は、$\mathbf{b}$ の $W$ への直交射影である。まず $W$ の直交基底をグラム・シュミットの直交化で作る。

${\mathbf{u}}_1={\mathbf{a}}_1$ とおくと $\Vert {\mathbf{u}}_1{\Vert }^2=4$、$({\mathbf{a}}_2,{\mathbf{u}}_1)=1-1+0+2=2$ なので
$${\mathbf{a}}_2-\frac{2}{4}{\mathbf{u}}_1=\left(\begin{array}{c}1/2\\ -3/2\\ -1/2\\ 3/2\end{array}\right).$$
これを $2$ 倍して ${\mathbf{u}}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ -1\\ 3\end{array}\right)$ とすると、${\mathbf{u}}_1,{\mathbf{u}}_2$ は $W$ の直交基底で、$\Vert {\mathbf{u}}_2{\Vert }^2=1+9+1+9=20$ である。

次に内積を計算すると
$$(\mathbf{b},{\mathbf{u}}_1)=2+0+1+5=8,(\mathbf{b},{\mathbf{u}}_2)=2-0-1+15=16.$$
よって $\mathbf{b}$ の $W$ への直交射影は
$$\mathbf{p}=\frac{8}{4}{\mathbf{u}}_1+\frac{16}{20}{\mathbf{u}}_2=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 2\\ 2\end{array}\right)+\frac{4}{5}\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ -1\\ 3\end{array}\right)=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{c}14\\ -2\\ 6\\ 22\end{array}\right).$$
したがって
$$\mathbf{b}-\mathbf{p}=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ -1\\ 3\end{array}\right)$$
であり、これは ${\mathbf{a}}_1$ とも ${\mathbf{a}}_2$ とも直交する（$-4+2-1+3=0$, $-4-2+0+6=0$）。求める距離は
$$\Vert \mathbf{b}-\mathbf{p}\Vert =\frac{1}{5}\sqrt{16+4+1+9}=\frac{\sqrt{30}}{5}.$$

最小値は $\mathbf{b}$ の $W$ への直交射影 $\mathbf{p}=s{\mathbf{a}}_1+t{\mathbf{a}}_2$ に対する $\Vert \mathbf{b}-\mathbf{p}\Vert$ である。正規方程式: ${\mathbf{a}}_1\cdot {\mathbf{a}}_1=4,{\mathbf{a}}_1\cdot {\mathbf{a}}_2=2,{\mathbf{a}}_2\cdot {\mathbf{a}}_2=6,{\mathbf{a}}_1\cdot \mathbf{b}=8,{\mathbf{a}}_2\cdot \mathbf{b}=2+0+0+10=12$。\n$4s+2t=8,2s+6t=12$ を解いて $s=\frac{6}{5},t=\frac{8}{5}$。\n$\mathbf{p}=\left(\frac{14}{5},-\frac{2}{5},\frac{6}{5},\frac{22}{5}\right)$、$\mathbf{b}-\mathbf{p}=\frac{1}{5}(-4,2,-1,3)$。\n検算: ${\mathbf{a}}_1\cdot (\mathbf{b}-\mathbf{p})\propto -4+2-1+3=0$、${\mathbf{a}}_2\cdot (\mathbf{b}-\mathbf{p})\propto -4-2+0+6=0$。\n$\Vert \mathbf{b}-\mathbf{p}{\Vert }^2=\frac{16+4+1+9}{25}=\frac{6}{5}$ より、距離は $\sqrt{6/5}=\frac{\sqrt{30}}{5}$。