線形代数の問題

$\mathbf{b}$ の $W$ への直交射影を $\mathbf{p}$ とすると、$\mathbf{b}-\mathbf{p}$ は $W$ と直交する。任意の $\mathbf{w}\in W$ に対して $\mathbf{p}-\mathbf{w}\in W$ だから、三平方の定理より
$$\Vert \mathbf{b}-\mathbf{w}{\Vert }^2=\Vert \mathbf{b}-\mathbf{p}{\Vert }^2+\Vert \mathbf{p}-\mathbf{w}{\Vert }^2\ge \Vert \mathbf{b}-\mathbf{p}{\Vert }^2$$
が成り立ち、最小値は $\mathbf{w}=\mathbf{p}$ のときにとる。よって $d=\Vert \mathbf{b}-\mathbf{p}\Vert$ である。

グラム・シュミットの直交化で $W$ の直交基底を作る。
${\mathbf{u}}_1={\mathbf{a}}_1$ とおく。$⟨{\mathbf{a}}_2,{\mathbf{u}}_1⟩=10$, $\Vert {\mathbf{u}}_1{\Vert }^2=4$ より
$${\mathbf{a}}_2-\frac{10}{4}{\mathbf{u}}_1=\left(\begin{array}{c}-3/2\\ -1/2\\ 1/2\\ 3/2\end{array}\right).$$
これを $2$ 倍して ${\mathbf{u}}_2={}^t(-3,-1,1,3)$ とする（定数倍しても直交性は変わらない）。$\Vert {\mathbf{u}}_2{\Vert }^2=9+1+1+9=20$。

直交射影を計算する。
$⟨\mathbf{b},{\mathbf{u}}_1⟩=1+3+2+6=12$、$⟨\mathbf{b},{\mathbf{u}}_2⟩=-3-3+2+18=14$ より
$$\mathbf{p}=\frac{12}{4}{\mathbf{u}}_1+\frac{14}{20}{\mathbf{u}}_2=3\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right)+\frac{7}{10}\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ 1\\ 3\end{array}\right)=\frac{1}{10}\left(\begin{array}{c}9\\ 23\\ 37\\ 51\end{array}\right).$$
したがって
$$\mathbf{b}-\mathbf{p}=\frac{1}{10}\left(\begin{array}{c}1\\ 7\\ -17\\ 9\end{array}\right).$$
（確認：$⟨\mathbf{b}-\mathbf{p},{\mathbf{a}}_1⟩=\frac{1}{10}(1+7-17+9)=0$、$⟨\mathbf{b}-\mathbf{p},{\mathbf{a}}_2⟩=\frac{1}{10}(1+14-51+36)=0$ で、確かに $W$ と直交している。）

距離を求める。
$$\Vert \mathbf{b}-\mathbf{p}{\Vert }^2=\frac{1+49+289+81}{100}=\frac{420}{100}=\frac{21}{5}$$
よって
$$d=\sqrt{\frac{21}{5}}=\frac{\sqrt{105}}{5}.$$

$W$ への $\mathbf{b}$ の正射影を $\mathbf{p}=x{\mathbf{a}}_1+y{\mathbf{a}}_2$ とおく。$d=\Vert \mathbf{b}-\mathbf{p}\Vert$ であり、$\mathbf{b}-\mathbf{p}$ は $W$ に直交する。

内積を計算する。$⟨a_1,a_1⟩=4$、$⟨a_1,a_2⟩=10$、$⟨a_2,a_2⟩=30$、$⟨a_1,b⟩=12$、$⟨a_2,b⟩=1+6+6+24=37$。

法線方程式は $4x+10y=12$、$10x+30y=37$。これを解くと $x=-\frac{1}{2}$、$y=\frac{7}{5}$。

よって $\mathbf{p}=(0.9,2.3,3.7,5.1{)}^t$、$\mathbf{b}-\mathbf{p}=(0.1,0.7,-1.7,0.9{)}^t$。

検算として直交性を確かめる。$⟨a_1,b-p⟩=0.1+0.7-1.7+0.9=0$。$⟨a_2,b-p⟩=0.1+1.4-5.1+3.6=0$。どちらも 0 で正しい。

$\Vert \mathbf{b}-\mathbf{p}{\Vert }^2=0.01+0.49+2.89+0.81=4.2=\frac{21}{5}$。したがって $d=\sqrt{21/5}=\frac{\sqrt{105}}{5}$。