線形代数の問題

一次従属の意味を式にする

${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{v}}_3$ が一次従属であるとは、
$$c_1{\mathbf{v}}_1+c_2{\mathbf{v}}_2+c_3{\mathbf{v}}_3=0$$
をみたす実数の組 $(c_1,c_2,c_3)$ に、$(0,0,0)$ 以外のものがあることである。

この式を成分で書くと、未知数 $c_1,c_2,c_3$ についての同次連立 1 次方程式になる。その係数行列は、${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{v}}_3$ を列に並べた行列
$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 1& 2& 1\\ 2& 3& a\end{array}\right)$$
である。未知数は 3 個なので、$0$ 以外の解をもつのは $\mathrm{rank}A<3$ のとき、そしてそのときに限る。

掃き出し法で階数を調べる

第 2 行から第 1 行を引き、第 3 行から第 1 行の 2 倍を引く。
$$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 0& 1& -1\\ 0& 1& a-4\end{array}\right)$$
続いて、第 3 行から第 2 行を引く。
$$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 0& 1& -1\\ 0& 0& a-3\end{array}\right)$$

階数から条件を読み取る

• $a\ne 3$ のとき：$\mathrm{rank}A=3$ である。解は $c_1=c_2=c_3=0$ だけなので、3 つのベクトルは一次独立である。
• $a=3$ のとき：$\mathrm{rank}A=2<3$ である。自由度 1 の解があるので、3 つのベクトルは一次従属である。

確認

$a=3$ のとき、${\mathbf{v}}_3=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 3\end{array}\right)$ である。
$$3{\mathbf{v}}_1-{\mathbf{v}}_2=\left(\begin{array}{c}3-1\\ 3-2\\ 6-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 3\end{array}\right)={\mathbf{v}}_3$$
となり、$3{\mathbf{v}}_1-{\mathbf{v}}_2-{\mathbf{v}}_3=0$ が成り立つ。確かに一次従属である。

よって、求める値は $a=3$ である。

3 つのベクトルが一次従属 ⇔ 行列式 $\det ({\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{v}}_3)=0$。

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 1& 2& 1\\ 2& 3& a\end{array}\right|$$
第1行に沿って展開すると
$1\cdot (2a-3)-1\cdot (a-2)+2\cdot (3-4)=2a-3-a+2-2=a-3$。

よって $a-3=0$、すなわち $a=3$。

検算: $a=3$ のとき ${\mathbf{v}}_3=x{\mathbf{v}}_1+y{\mathbf{v}}_2$ を考える。第1成分 $x+y=2$、第2成分 $x+2y=1$ より $y=-1,x=3$。第3成分 $2x+3y=6-3=3=a$ となり一致する。つまり ${\mathbf{v}}_3=3{\mathbf{v}}_1-{\mathbf{v}}_2$ で一次従属である。