線形代数の問題

手順 1：基底の取りかえ行列 $P$ をつくる。
標準基底から基底 $\{{\mathbf{u}}_1,{\mathbf{u}}_2\}$ への取りかえ行列 $P$ は、新しい基底ベクトルを（標準基底での成分のまま）列に並べた行列である。
$$P=({\mathbf{u}}_1{\mathbf{u}}_2)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$$

手順 2：$P^{-1}$ を求める。
$\det P=1\cdot 2-1\cdot 1=1\ne 0$ なので $P$ は正則で、
$$P^{-1}=\frac{1}{1}\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 1\end{array}\right)$$

手順 3：$B=P^{-1}AP$ を計算する。
新しい基底に関する表現行列は $B=P^{-1}AP$ で与えられる。まず
$$AP=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ -1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3+1& 3+2\\ -1+1& -1+2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ 0& 1\end{array}\right)$$
（これは $f({\mathbf{u}}_1)=A{\mathbf{u}}_1,f({\mathbf{u}}_2)=A{\mathbf{u}}_2$ を列に並べたものである。）次に
$$B=P^{-1}(AP)=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}8-0& 10-1\\ -4+0& -5+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}8& 9\\ -4& -4\end{array}\right)$$

検算： $f({\mathbf{u}}_2)=\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)$ で、$9{\mathbf{u}}_1-4{\mathbf{u}}_2=\left(\begin{array}{c}9-4\\ 9-8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)$ となり、$B$ の第 2 列と一致する。また $\mathrm{tr}B=4=\mathrm{tr}A$、$\det B=-32+36=4=\det A$ も成り立つ。

よって $(b_{12},b_{21})=(9,-4)$ である。

基底の変換行列を $P=({\mathbf{u}}_1{\mathbf{u}}_2)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$ とすると、$B=P^{-1}AP$ である。$\det P=1$ なので $P^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 1\end{array}\right)$。

$A{\mathbf{u}}_1=(3+1,-1+1{)}^T=(4,0{)}^T$、$A{\mathbf{u}}_2=(3+2,-1+2{)}^T=(5,1{)}^T$。

これを $P^{-1}$ で基底 $\{{\mathbf{u}}_1,{\mathbf{u}}_2\}$ に関する成分に直すと、
$P^{-1}(4,0{)}^T=(8,-4{)}^T$、$P^{-1}(5,1{)}^T=(10-1,-5+1{)}^T=(9,-4{)}^T$。

よって $B=\left(\begin{array}{cc}8& 9\\ -4& -4\end{array}\right)$。

検算：$\mathrm{tr}B=4=\mathrm{tr}A$、$\det B=-32+36=4=\det A$ で一致する。

したがって $(b_{12},b_{21})=(9,-4)$。