線形代数の問題

手順 1：基底の取りかえ行列 $P$ を作る。
標準基底から基底 $\{{\mathbf{p}}_1,{\mathbf{p}}_2\}$ への取りかえ行列は、${\mathbf{p}}_1,{\mathbf{p}}_2$ を列に並べた行列
$$P=\left({\mathbf{p}}_1{\mathbf{p}}_2\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$$
である。

手順 2：$B=P^{-1}AP$ を使う。
$f({\mathbf{p}}_j)=A{\mathbf{p}}_j$ なので、定義式は $AP=PB$ と書ける。$\det P=1\cdot 2-1\cdot 1=1\ne 0$ より $P$ は正則で、$B=P^{-1}AP$ となる。
$$P^{-1}=\frac{1}{1}\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 1\end{array}\right)$$

手順 3：計算する。
$$AP=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ 4& 6\end{array}\right)$$
$$B=P^{-1}(AP)=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ 4& 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 4\\ 0& 1\end{array}\right)$$

確認： $B$ の第 2 列 $(4,1)$ は $f({\mathbf{p}}_2)=4{\mathbf{p}}_1+1\cdot {\mathbf{p}}_2$ を意味する。実際 $4{\mathbf{p}}_1+{\mathbf{p}}_2=\left(\begin{array}{c}5\\ 6\end{array}\right)=A{\mathbf{p}}_2$ で一致する。

よって $B$ の $(1,2)$ 成分は $4$ である。

$P=({\mathbf{p}}_1{\mathbf{p}}_2)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$ とおくと、$B=P^{-1}AP$ である。$\det P=1$ より $P^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 1\end{array}\right)$。
$AP=\left(\begin{array}{cc}3+1& 3+2\\ 2+2& 2+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ 4& 6\end{array}\right)$。
$B=P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cc}2\cdot 4-4& 2\cdot 5-6\\ -4+4& -5+6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 4\\ 0& 1\end{array}\right)$。
検算: $f({\mathbf{p}}_2)=(5,6{)}^T$ で、$4{\mathbf{p}}_1+1\cdot {\mathbf{p}}_2=(4+1,4+2)=(5,6)$ となり一致する。また $f({\mathbf{p}}_1)=(4,4{)}^T=4{\mathbf{p}}_1$ で第1列は $(4,0{)}^T$ となり一致する。トレース $3+2=5=4+1$、行列式 $4=4$ も一致する。よって $(1,2)$ 成分は $4$。