線形代数の問題

内積は $⟨\mathbf{x},\mathbf{y}⟩={}^t\mathbf{x}G\mathbf{y}$,
$$G=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 2& 1\\ 0& 1& 2\end{array}\right)$$
と書ける。

直交射影を $\mathbf{w}=a{\mathbf{e}}_1+b{\mathbf{e}}_2$ とおく。$\mathbf{v}-\mathbf{w}$ が ${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2$ の両方と直交する条件は
$$⟨\mathbf{v},{\mathbf{e}}_1⟩=a⟨{\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_1⟩+b⟨{\mathbf{e}}_2,{\mathbf{e}}_1⟩,⟨\mathbf{v},{\mathbf{e}}_2⟩=a⟨{\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2⟩+b⟨{\mathbf{e}}_2,{\mathbf{e}}_2⟩.$$

必要な内積を計算する。
- $⟨{\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_1⟩=2$, $⟨{\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2⟩=1$, $⟨{\mathbf{e}}_2,{\mathbf{e}}_2⟩=2$
- $G\mathbf{v}=\left(\begin{array}{c}2+2+0\\ 1+4+3\\ 0+2+6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ 8\end{array}\right)$ より $⟨\mathbf{v},{\mathbf{e}}_1⟩=4$, $⟨\mathbf{v},{\mathbf{e}}_2⟩=8$

よって
$$2a+b=4,a+2b=8.$$
第 2 式の 2 倍から第 1 式を引くと $3b=12$ より $b=4$、これを代入して $a=0$。したがって $\mathbf{w}=4{\mathbf{e}}_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 0\end{array}\right)$ であり
$$\mathbf{v}-\mathbf{w}=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 3\end{array}\right).$$
確認として $G(\mathbf{v}-\mathbf{w})=\left(\begin{array}{c}2-2+0\\ 1-4+3\\ 0-2+6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 4\end{array}\right)$ なので、${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2$ との内積はともに $0$ である。

$$\Vert \mathbf{v}-\mathbf{w}{\Vert }^2=⟨\mathbf{v}-\mathbf{w},\mathbf{v}-\mathbf{w}⟩=1\cdot 0+(-2)\cdot 0+3\cdot 4=12.$$
よって求める距離は $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ である。

（別解）グラム・シュミットの直交化で $W$ の直交基底を作ってもよい。${\mathbf{u}}_1={\mathbf{e}}_1$, ${\mathbf{u}}_2={\mathbf{e}}_2-\frac{⟨{\mathbf{e}}_2,{\mathbf{u}}_1⟩}{⟨{\mathbf{u}}_1,{\mathbf{u}}_1⟩}{\mathbf{u}}_1={\mathbf{e}}_2-\frac{1}{2}{\mathbf{e}}_1$ とすると $⟨{\mathbf{u}}_2,{\mathbf{u}}_2⟩=2-1+\frac{2}{4}=\frac{3}{2}$, $⟨\mathbf{v},{\mathbf{u}}_2⟩=8-2=6$。$\mathbf{w}=\frac{4}{2}{\mathbf{u}}_1+\frac{6}{3/2}{\mathbf{u}}_2=2{\mathbf{e}}_1+4{\mathbf{e}}_2-2{\mathbf{e}}_1=4{\mathbf{e}}_2$ となり、同じ結果を得る。

内積の行列は $G=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 2& 1\\ 0& 1& 2\end{array}\right)$（$⟨\mathbf{x},\mathbf{y}⟩={\mathbf{x}}^{T}G\mathbf{y}$）。

$\mathbf{w}\in W$ は $\mathbf{v}-\mathbf{w}=\mathbf{r}=(r_1,r_2,3{)}^T$ の形（第 3 成分は $W$ を引いても変わらず $3$）で、$\mathbf{r}$ が ${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2$ と直交する：
$⟨\mathbf{r},{\mathbf{e}}_1⟩=2r_1+r_2=0,⟨\mathbf{r},{\mathbf{e}}_2⟩=r_1+2r_2+3=0$。
第 1 式より $r_2=-2r_1$、第 2 式に代入して $r_1-4r_1+3=0$ より $r_1=1,r_2=-2$。$\mathbf{r}=(1,-2,3{)}^T$。

$G\mathbf{r}=(2-2,1-4+3,-2+6{)}^T=(0,0,4{)}^T$。$\Vert \mathbf{r}{\Vert }^2={\mathbf{r}}^{T}G\mathbf{r}=3\cdot 4=12$。よって距離は $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。

検算: 公式 $\Vert \mathbf{r}{\Vert }^2=v_3^2/(G^{-1}{)}_{33}$。$\det G=4$、$(G^{-1}{)}_{33}=(2\cdot 2-1)/4=3/4$ より $9/(3/4)=12$。一致。