線形代数の問題

手順 1：$V$ の次元を確かめる。
$V$ の元は $p(x)=a+bx+c{x}^2+d{x}^3$（$a,b,c,d$ は実数）と書けます。$1,x,x^2,x^3$ が基底なので $\dim V=4$ です。

手順 2：核 $\ker f$ を求める。
$\ker f=\{p\in V\mid f(p)=0\}$ です。
$$p(0)=a,p(1)=a+b+c+d,p(-1)=a-b+c-d$$
なので、$f(p)=0$ は連立 1 次方程式
$$a=0,a+b+c+d=0,a-b+c-d=0$$
と同じです。$a=0$ を代入すると $b+c+d=0$, $-b+c-d=0$。この 2 式を足すと $2c=0$ より $c=0$、したがって $b=-d$ です。$d=t$（$t$ は任意の実数）とおくと
$$p(x)=-tx+t{x}^3=t(x^3-x)$$
よって $\ker f$ の基底は $\{x^3-x\}$ で、$\dim \ker f=1$ です。

手順 3：次元定理で像の次元を求める。
次元定理 $\dim V=\dim \ker f+\dim \mathrm{Im}f$ より
$$\dim \mathrm{Im}f=4-1=3$$
（$\mathrm{Im}f$ は ${\mathbb{R}}^3$ の 3 次元部分空間なので $\mathrm{Im}f={\mathbb{R}}^3$ です。実際、$f$ を基底 $1,x,x^2,x^3$ に関して表す行列 $\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 1& 1& 1& 1\\ 1& -1& 1& -1\end{array}\right)$ の階数も 3 で一致します。）

したがって、答えは $(\dim \ker f,\dim \mathrm{Im}f)=(1,3)$ です。

$V$ の次元は 4（基底 $1,x,x^2,x^3$）。$p=a+bx+c{x}^2+d{x}^3$ とすると、$p(0)=a$、$p(1)=a+b+c+d$、$p(-1)=a-b+c-d$。

$f$ の像：任意の $(u,v,w)\in {\mathbb{R}}^3$ に対し、$p=a+bx+c{x}^2$（$d=0$）として $a=u$、$b+c=v-u$、$-b+c=w-u$ を解くと $c=(v+w-2u)/2$、$b=(v-w)/2$ となり解がある。したがって $f$ は全射で $\dim \mathrm{Im}f=3$。

次元定理より $\dim \ker f=4-3=1$。

確認：$\ker f$ は $p(0)=p(1)=p(-1)=0$ となる 3 次以下の多項式、つまり $p=kx(x-1)(x+1)=k(x^3-x)$ であり、次元は 1。

よって答えは $(1,3)$。