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線形代数の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学数学線形代数

実数係数で次数が $4$ 以下の $x$ の多項式全体のなす実線形空間を $V$ とする。線形写像 $T : V \to V$ を
$T (f) (x) = x^{2} f^{''} (x) - 2 x f^{'} (x) + 2 f (x)$
で定め、 $V$ の部分空間 $W$ を
$W = {f \in V ∣ f (1) = 0}$
とする。 $dim (Ker T \cap W)$ と $dim (Im T \cap W)$ をこの順に組で求めよ。

この問題で使うもの

核と像と次元定理（説明と入口の問題）
ベクトル空間・一次独立・基底・次元（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（37 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

基底 $1, x, x^{2}, x^{3}, x^{4}$ のそれぞれを $T$ で写し、 $Ker T$ と $Im T$ の基底を求める。

ヒント 2

$T (x^{k}) = (k - 1) (k - 2) x^{k}$ となることを確かめよ。

ヒント 3

$Ker T = ⟨ x, x^{2} ⟩$ 、 $Im T = ⟨ 1, x^{3}, x^{4} ⟩$ である。それぞれの一般の元に条件 $f (1) = 0$ を課し、解空間の次元を数えればよい。

答えと解説

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(1, 2)

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解説を読む

$V$ の基底 $1, x, x^{2}, x^{3}, x^{4}$ の像を計算する。 $k = 0, 1, 2, 3, 4$ に対し
$T (x^{k}) = k (k - 1) x^{k} - 2 k x^{k} + 2 x^{k} = (k^{2} - 3 k + 2) x^{k} = (k - 1) (k - 2) x^{k}$
であるから
$T (1) = 2, T (x) = 0, T (x^{2}) = 0, T (x^{3}) = 2 x^{3}, T (x^{4}) = 6 x^{4} .$
したがって $f = c_{0} + c_{1} x + c_{2} x^{2} + c_{3} x^{3} + c_{4} x^{4}$ に対し $T (f) = 2 c_{0} + 2 c_{3} x^{3} + 6 c_{4} x^{4}$ となる。

核 $T (f) = 0 ⟺ c_{0} = c_{3} = c_{4} = 0$ なので $Ker T = ⟨ x, x^{2} ⟩$ （ $dim = 2$ ）。

像 $Im T = ⟨ 1, x^{3}, x^{4} ⟩$ （ $dim = 3$ ）。次元定理 $2 + 3 = 5 = dim V$ とも合う。

$Ker T \cap W$ $f = p x + q x^{2}$ が $f (1) = 0$ を満たす条件は $p + q = 0$ 。よって $Ker T \cap W = ⟨ x^{2} - x ⟩$ で、次元は $1$ 。

$Im T \cap W$ $f = a + b x^{3} + c x^{4}$ が $f (1) = 0$ を満たす条件は $a + b + c = 0$ 。これは $3$ 次元空間 $Im T$ の中の自明でない $1$ 本の一次方程式なので、解空間は $2$ 次元で、例えば基底 $x^{3} - 1, x^{4} - 1$ をもつ。

以上より、求める組は $(1, 2)$ である。

別解

単項式 $x^{k}$ に対し $T (x^{k}) = k (k - 1) x^{k} - 2 k x^{k} + 2 x^{k} = (k - 1) (k - 2) x^{k}$ 。よって $T$ は基底 $1, x, x^{2}, x^{3}, x^{4}$ で対角行列 $diag (2, 0, 0, 2, 6)$ で表される。\n\n $Ker T = span {x, x^{2}}$ 、 $Im T = span {1, x^{3}, x^{4}}$ 。\n\n $Ker T \cap W$ : $f = a x + b x^{2}$ に対し $f (1) = a + b = 0$ の 1 次条件が独立なので次元は $2 - 1 = 1$ 。\n $Im T \cap W$ : $f = c + d x^{3} + e x^{4}$ に対し $f (1) = c + d + e = 0$ 、1 次条件が自明でないので次元は $3 - 1 = 2$ 。\n\nよって $(1, 2)$ 。

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