線形代数の問題

$\dim M_3(\mathbb{R})=9$ だから、次元定理 $\dim \mathrm{Ker}T+\dim \mathrm{Im}T=9$ より $\mathrm{Ker}T=\{X\mid AX=XA\}$ の次元を求めればよい。

$X=(x_{ij})$ とおく。$A$ を左から掛けると行の変形になり
$$AX=\left(\begin{array}{ccc}{x}_{11}+x_{21}& x_{12}+x_{22}& x_{13}+x_{23}\\ x_{21}& x_{22}& x_{23}\\ 2x_{31}& 2x_{32}& 2x_{33}\end{array}\right)$$
右から掛けると列の変形になり
$$XA=\left(\begin{array}{ccc}{x}_{11}& x_{11}+x_{12}& 2x_{13}\\ x_{21}& x_{21}+x_{22}& 2x_{23}\\ x_{31}& x_{31}+x_{32}& 2x_{33}\end{array}\right)$$
成分を比べる。
- $(1,1)$: $x_{21}=0$
- $(1,2)$: $x_{22}=x_{11}$
- $(1,3)$: $x_{23}=x_{13}$
- $(2,2)$: $x_{21}=0$、$(2,1)$ は常に成立
- $(2,3)$: $x_{23}=2x_{23}$ より $x_{23}=0$、したがって $x_{13}=0$
- $(3,1)$: $2x_{31}=x_{31}$ より $x_{31}=0$
- $(3,2)$: $2x_{32}=x_{31}+x_{32}$ より $x_{32}=0$
- $(3,3)$: 常に成立

よって $x_{21}=x_{13}=x_{23}=x_{31}=x_{32}=0,x_{22}=x_{11}$ で、$x_{11},x_{12},x_{33}$ は任意。
$$\mathrm{Ker}T=\left\{\left(\begin{array}{ccc}s& t& 0\\ 0& s& 0\\ 0& 0& u\end{array}\right)|s,t,u\in \mathbb{R}\right\}$$
であり、$\dim \mathrm{Ker}T=3$。

したがって $\dim \mathrm{Im}T=9-3=6$。

$\dim \mathrm{Im}T=9-\dim \ker T$。$\ker T=\{X\mid AX=XA\}$ は $A$ の交換子環（中心化代数）。

$A$ のジョルダン標準形は、固有値 $1$ のサイズ $2$ のジョルダン細胞と固有値 $2$ のサイズ $1$ の細胞で、すでにその形をしている。

$X=(X_{ij})$ をブロック（$\{1,2\}$ と $\{3\}$）に分けて考える。
- 固有値が異なるブロック間の成分は $AX=XA$ より $0$（$A$ の $1$ 側と $2$ 側は共通の固有値をもたないので、シルベスター方程式の解は $0$ のみ）。
- 固有値 $1$ のブロック $J=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ について $JY=YJ$ を解くと、$Y=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ 0& p\end{array}\right)$ で $2$ 次元。
- 固有値 $2$ のブロック（$1\times 1$）は任意で $1$ 次元。

よって $\dim \ker T=2+1=3$、$\dim \mathrm{Im}T=9-3=6$。

検算: $Y=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ とすると $JY-YJ=\left(\begin{array}{cc}c& d-a\\ 0& -c\end{array}\right)$ なので $c=0,a=d$、確かに $2$ 次元。