線形代数の問題

固有値 固有多項式を計算する。
$$\det (tE-A)=\left|\begin{array}{ccc}t& -1& -1\\ 1& t-2& -1\\ 3& -1& t-4\end{array}\right|$$
第 1 行で展開すると
$$t\{(t-2)(t-4)-1\}+1\cdot \{1\cdot (t-4)+3\}-1\cdot \{-1-3(t-2)\}$$
$$=t(t^2-6t+7)+(t-1)+(3t-5)=t^3-6t^2+11t-6=(t-1)(t-2)(t-3).$$
よって固有値は $1,2,3$ で、相異なるので $A$ は対角化可能である。

固有ベクトル
- $t=1$: $(A-E)\mathbf{x}=0$ を解くと ${\mathbf{v}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$（実際 $A{\mathbf{v}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$）。
- $t=2$: ${\mathbf{v}}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$（$A{\mathbf{v}}_2=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 2\end{array}\right)$）。
- $t=3$: ${\mathbf{v}}_3=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right)$（$A{\mathbf{v}}_3=\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 6\end{array}\right)$）。

対角化 $P=({\mathbf{v}}_1{\mathbf{v}}_2{\mathbf{v}}_3)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right)$ とおくと $\det P=1$ であり、余因子行列から
$$P^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 1& 1& -1\\ -1& 0& 1\end{array}\right)$$
（$P{P}^{-1}=E$ を確かめられる）。このとき $P^{-1}AP=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right)$ なので
$$A^n=P\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2^n& 0\\ 0& 0& 3^n\end{array}\right)P^{-1}.$$

$(3,1)$ 成分 $P\mathrm{diag}(1,2^n,3^n)$ の第 3 行は $(1,2^n,2\cdot 3^n)$、$P^{-1}$ の第 1 列は $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ なので
$$(A^n{)}_{31}=1\cdot 1+2^n\cdot 1+2\cdot 3^n\cdot (-1)=1+2^n-2\cdot 3^n.$$

（確認）$n=1$ のとき $1+2-6=-3$ となり、$A$ の $(3,1)$ 成分 $-3$ と一致する。

特性多項式を計算する。$\det (xI-A)=x\{(x-2)(x-4)-1\}+\{(x-4)+3\}-\{-1-3(x-2)\}=x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3)$。固有値は $1,2,3$ で相異なるので、$A^n$ の各成分は $\alpha +\beta 2^n+\gamma 3^n$ の形になる（ケーリー・ハミルトンの定理より成分は漸化式 $a_{n+3}=6a_{n+2}-11a_{n+1}+6a_n$ を満たす）。\n\n$(3,1)$ 成分を $a_n$ とおくと、$a_0=0$（単位行列）、$a_1=-3$、$a_2=(-3,1,4)\cdot (0,-1,-3{)}^T=-1-12=-13$。\n$\alpha +\beta +\gamma =0$, $\alpha +2\beta +3\gamma =-3$, $\alpha +4\beta +9\gamma =-13$。差をとって $\beta +2\gamma =-3$, $2\beta +6\gamma =-10$ より $\gamma =-2,\beta =1,\alpha =1$。\n\nよって $a_n=1+2^n-2\cdot 3^n$。\n検算: $n=3$ で漸化式から $a_3=6(-13)-11(-3)+6\cdot 0=-45$、公式で $1+8-54=-45$ で一致。