線形代数の問題

手順1：固有値を求める。
特性多項式は
$$\det (A-\lambda E)=(4-\lambda )(2-\lambda )-(-1)\cdot 1={\lambda }^2-6\lambda +9=(\lambda -3{)}^2$$
です。よって固有値は $\lambda =3$（重解）だけです。

手順2：固有ベクトルを求め、対角化できないことを確かめる。
$$A-3E=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& -1\end{array}\right)$$
なので、$(A-3E)\mathbf{x}=0$ は $x_1-x_2=0$ となります。固有空間は ${\mathbf{p}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$ で張られる 1 次元の空間です。重複度 2 に対して固有空間の次元が 1 なので、$A$ は対角化できません。

手順3：一般化固有ベクトルを求める。
$(A-3E){\mathbf{p}}_2={\mathbf{p}}_1$ を解きます。これは $x_1-x_2=1$ という条件になるので、たとえば ${\mathbf{p}}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$ がとれます。このとき
$$A{\mathbf{p}}_1=3{\mathbf{p}}_1,A{\mathbf{p}}_2={\mathbf{p}}_1+3{\mathbf{p}}_2$$
が成り立ちます（実際、$A{\mathbf{p}}_2=\left(\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)+3\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$）。

手順4：ジョルダン標準形と変換行列を書く。
$$P=({\mathbf{p}}_1{\mathbf{p}}_2)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right),J=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 0& 3\end{array}\right)$$
とおくと、$AP=PJ$ すなわち $P^{-1}AP=J$ です。$\det P=-1$ なので
$$P^{-1}=\frac{1}{-1}\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$$
となります。

手順5：$J^n$ を求める。
$J=3E+N$，$N=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$ とおきます。$N^2=O$ で、$E$ と $N$ は可換です。よって二項展開で
$$J^n=(3E+N{)}^n=3^{n}E+n\cdot 3^{n-1}N=\left(\begin{array}{cc}{3}^n& n\cdot 3^{n-1}\\ 0& 3^n\end{array}\right)$$
となります。

手順6：$A^n=P{J}^n{P}^{-1}$ を計算する。
$$P{J}^n=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{3}^n& n\cdot 3^{n-1}\\ 0& 3^n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{3}^n& n\cdot 3^{n-1}+3^n\\ 3^n& n\cdot 3^{n-1}\end{array}\right)$$
これに右から $P^{-1}=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$ を掛けます。$(1,1)$ 成分は
$$3^n\cdot 0+(n\cdot 3^{n-1}+3^n)\cdot 1=3^n+n\cdot 3^{n-1}=3^{n-1}(n+3)$$
です。

確認：
- $n=1$ のとき $3^0\cdot 4=4$ となり、$A$ の $(1,1)$ 成分と一致します。
- $n=2$ のとき $A^2=\left(\begin{array}{cc}15& -6\\ 6& 3\end{array}\right)$ で、$3\cdot 5=15$ と一致します。

よって、求める $(1,1)$ 成分は $3^{n-1}(n+3)$ です。

特性多項式は $\det (A-\lambda I)=(4-\lambda )(2-\lambda )+1={\lambda }^2-6\lambda +9=(\lambda -3{)}^2$ なので、固有値は $3$（重解）。$A-3I=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& -1\end{array}\right)\ne O$ なので対角化できず、ジョルダン標準形は $J=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 0& 3\end{array}\right)$。

$N=A-3I$ とおくと $N^2=O$（ケーリー・ハミルトンの定理）。$A=3I+N$ で $3I$ と $N$ は可換なので二項定理より
$A^n=3^{n}I+n{3}^{n-1}N$。

(1,1) 成分は $3^n+n{3}^{n-1}\cdot 1=3^{n-1}(n+3)$。

検算: $n=1$ のとき $3^0\cdot 4=4$ で $A$ の (1,1) 成分に一致。$n=2$ のとき $A^2$ の (1,1) 成分は $4\cdot 4+(-1)\cdot 1=15$、公式は $3\cdot 5=15$ で一致。