対角化と行列の累乗

対角化できるかを判定し、 $A = P D P^{- 1}$ を使って $A^{n}$ や漸化式の一般項を求められる

前提

固有値と固有ベクトル（大学数学線形代数）
基底の変換と表現行列（大学数学線形代数）

この技能までの道筋（45 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

三角形の角の大きさ（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
行列式（大学数学線形代数）
掃き出し法と連立 1 次方程式（大学数学線形代数）
行列の階数と解の存在（大学数学線形代数）
ベクトル空間・一次独立・基底・次元（大学数学線形代数）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
線形変換と行列（大学数学線形代数）
核と像と次元定理（大学数学線形代数）
固有値と固有ベクトル（大学数学線形代数）
掃き出し法による逆行列（大学数学線形代数）
基底の変換と表現行列（大学数学線形代数）

説明

正方行列 $A$ が、固有ベクトルを並べた行列 $P$ と対角行列 $D$ を使って $A = P D P^{- 1}$ と書けるか（対角化できるか）を判定します。書けるときは、それを使って $A^{n}$ を $n$ の式で求めます。対角行列の累乗は対角成分をそれぞれ $n$ 乗するだけなので、計算が一気に簡単になります。連立の漸化式や、3 項間漸化式を行列の形に直したものの一般項を求めるときにも使えます。

なぜそうしてよいのか

$m$ 次正方行列 $A$ が、一次独立な固有ベクトル $p_{1}, \dots, p_{m}$ をもつとします（ $A p_{i} = λ_{i} p_{i}$ ）。 $m$ 本の一次独立なベクトルなので、これらは基底になります。この基底に関する $A$ の表現行列を考えると、各基底ベクトルは $λ_{i}$ 倍されるだけです。したがって表現行列は、対角成分に $λ_{1}, \dots, λ_{m}$ が並ぶ対角行列 $D = diag (λ_{1}, \dots, λ_{m})$ になります。基底の取りかえ行列は $P = (p_{1} \dots p_{m})$ で、表現行列は $P^{- 1} A P$ に変わるのでした。よって $P^{- 1} A P = D$ 、つまり $A = P D P^{- 1}$ です。式で直接確かめることもできます。 $A P = (λ_{1} p_{1} \dots λ_{m} p_{m}) = P D$ が成り立ちます。 $P$ の列は一次独立なので $P$ は正則です。右から $P^{- 1}$ を掛ければ同じ式が得られます。

累乗が簡単になるのは、間にはさまる $P^{- 1} P$ が単位行列 $E$ になって消えるからです。
$A^{n} = (P D P^{- 1}) (P D P^{- 1}) \dots (P D P^{- 1}) = P D^{n} P^{- 1}$
さらに $D^{n} = diag (λ_{1}^{n}, \dots, λ_{m}^{n})$ です。こうして行列の $n$ 乗が、数の $n$ 乗の計算に置きかわります。

対角化できるのは、一次独立な固有ベクトルが $m$ 本とれるときだけです。固有値 $λ$ の固有空間は $A - λ E$ の核です。その次元は、次元定理より $m - rank (A - λ E)$ です。この次元を異なる固有値すべてについて足し、和が $m$ になることが対角化できる条件です。特に、固有値が $m$ 個すべて異なれば必ず対角化できます。異なる固有値に属する固有ベクトルは一次独立になるからです（固有値が複素数のときは、 $P$ や $D$ の成分も複素数になります）。一方、重解の固有値があると、この和が $m$ に足りず対角化できない場合があります。そのため、重解があるときは確認が必要です。

手順

特性多項式から方程式 $det (A - λ E) = 0$ を解き、固有値を重複も含めて求める。
各固有値 $λ$ について $(A - λ E) x = 0$ を解き、固有空間の基底を求める。 $m$ 次正方行列なら、固有空間の次元 $m - rank (A - λ E)$ の和が $m$ のとき対角化でき、 $m$ に足りなければ対角化できない。
固有ベクトルを列に並べて $P$ を作る。 $D$ の対角成分には、 $P$ の各列に対応する固有値を同じ順番で並べる。 $P^{- 1}$ も求める。
$A^{n} = P D^{n} P^{- 1}$ を計算する。ここで $D^{n} = diag (λ_{1}^{n}, \dots, λ_{m}^{n})$ である。漸化式 $x_{k + 1} = A x_{k}$ の場合は $x_{n} = A^{n} x_{0}$ を使う。
$n = 1$ を代入して $A$ に戻ることを確かめる。

例題

$A = (41 - 2 1)$ とする。正の整数 $n$ に対して、 $A^{n}$ の $(1, 1)$ 成分を $n$ の式で求めよ。

例題の解答

【手順1】固有値を求める。
$det (A - λ E) = (4 - λ) (1 - λ) + 2 = λ^{2} - 5 λ + 6 = (λ - 2) (λ - 3)$
よって固有値は $λ = 2, 3$ です。

【手順2】固有ベクトルを求め、対角化できるか判定する。
- $λ = 2$ のとき： $A - 2 E = (21 - 2 - 1)$ なので、 $x = y$ です。固有ベクトルとして $(11)$ がとれます。
- $λ = 3$ のとき： $A - 3 E = (11 - 2 - 2)$ なので、 $x = 2 y$ です。固有ベクトルとして $(21)$ がとれます。

固有空間の次元はどちらも $2 - 1 = 1$ で、和は $2$ です。よって対角化できます（固有値が 2 つとも異なることからもわかります）。

【手順3】 $P$ , $D$ , $P^{- 1}$ を作る。
$P = (1121), D = (2003)$
$det P = 1 \cdot 1 - 2 \cdot 1 = - 1$ なので、
$P^{- 1} = \frac{1}{- 1} (1 - 1 - 2 1) = (- 1 1 2 - 1)$

【手順4】 $A^{n} = P D^{n} P^{- 1}$ を計算する。
$P D^{n} = (1121) (2^{n} 0 0 3^{n}) = (2^{n} 2^{n} 2 \cdot 3^{n} 3^{n})$
$A^{n} = (2^{n} 2^{n} 2 \cdot 3^{n} 3^{n}) (- 1 1 2 - 1) = (2 \cdot 3^{n} - 2^{n} 3^{n} - 2^{n} 2^{n + 1} - 2 \cdot 3^{n} 2^{n + 1} - 3^{n})$

【手順5】 $n = 1$ で確かめる。
各成分は、 $(1, 1)$ が $6 - 2 = 4$ 、 $(1, 2)$ が $4 - 6 = - 2$ 、 $(2, 1)$ が $3 - 2 = 1$ 、 $(2, 2)$ が $4 - 3 = 1$ です。 $A$ と一致します。

よって、 $A^{n}$ の $(1, 1)$ 成分は $2 \cdot 3^{n} - 2^{n}$ です。

答え: $2 \cdot 3^{n} - 2^{n}$

よくある誤り

$A^{n} = P^{n} D^{n} P^{- n}$ のように、 $P$ まで $n$ 乗してしまう誤り。正しくは、間の $P^{- 1} P = E$ が消えるので $A^{n} = P D^{n} P^{- 1}$ です。 $P$ と $P^{- 1}$ は 1 回ずつしか現れません。
掛ける順番を逆にして $A^{n} = P^{- 1} D^{n} P$ としてしまう誤り。固有ベクトルを列に並べた $P$ に対しては $P^{- 1} A P = D$ 、つまり $A = P D P^{- 1}$ です。 $P$ は左に、 $P^{- 1}$ は右に置きます。
$P$ の列の順番と $D$ の対角成分の順番がずれてしまう誤り。例題で $P = (1121)$ としたなら、 $D = diag (2, 3)$ でなければなりません。 $diag (3, 2)$ にすると $P D P^{- 1} \neq = A$ になります。
重解の固有値があるのに、確かめずに対角化できるとしてしまう誤り。例えば $(1011)$ の固有値は $1$ （重解）だけです。その固有空間の次元は $2 - rank (0010) = 1$ で、一次独立な固有ベクトルが 2 本とれません。そのため対角化できません。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

状態	$a$	$b$	$c$
$p$	$p$	$q$	$r$
$q$	$p$	$p$	$r$
$r$	$q$	$r$	$r$

この技能の次に学べること

ジョルダン標準形（大学数学線形代数）
対称行列の直交対角化（大学数学線形代数）
遷移行列による受理文字列数の一般項（大学数学オートマトン・形式言語）
レスリー行列の優越固有値と安定年齢分布（大学数学数理モデル）
正規化した DFT の固有値と重複度（大学院数学フーリエ解析）
トーラス自己同型の周期点（大学院数学力学系・エルゴード理論）
縮退がある場合の摂動論（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
1 次元イジング模型の転移行列（大学院物理相転移と繰り込み群）