1 次元イジング模型の転移行列

1 次元イジング模型（磁場・次近接相互作用を含む場合も）の転移行列を作り、最大固有値から自由エネルギー、固有値の比から相関長 $ξ = 1/ lo g (λ_{+} / λ_{-})$ や相関関数を求められる

前提

カノニカル分布と分配関数（大学物理統計力学）
対角化と行列の累乗（大学数学線形代数）

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算数中学高校大学大学院

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対角化と行列の累乗（大学数学線形代数）

説明

1 次元に並んだイジングスピン $s_{i} = \pm 1$ の分配関数を、 $2 \times 2$ 行列（転移行列）の $N$ 乗のトレースとして書き直し、行列の固有値だけで厳密に計算できるようになります。最大固有値 $λ_{+}$ から熱力学極限の自由エネルギー $f = - k_{B} T lo g λ_{+}$ （1 スピンあたり）が、2 つの固有値の比から相関関数 $⟨ s_{0} s_{r} ⟩$ の減衰と相関長 $ξ = 1/ lo g (λ_{+} /∣ λ_{-} ∣)$ が得られます。磁場がある場合や、次近接相互作用がある場合（状態を隣り合う 2 スピンの組にして $4 \times 4$ 行列にする）にも同じ考え方が使えます。

なぜそうしてよいのか

周期境界条件 $s_{N + 1} = s_{1}$ のもとで、ハミルトニアン $H = - J \sum_{i = 1}^{N} s_{i} s_{i + 1} - h \sum_{i = 1}^{N} s_{i}$ のボルツマン因子は、隣り合う 2 スピンだけに依存する因子の積に分けられます。磁場の項 $h s_{i}$ を両隣の結合に半分ずつ配って
$e^{- β H} = i = 1 \prod N T_{s_{i} s_{i + 1}}, T_{s s^{'}} = exp [β J s s^{'} + \frac{β h}{2} (s + s^{'})]$
と書けます。 $s, s^{'}$ の値 $+ 1, - 1$ を行・列の番号とみれば $T$ は $2 \times 2$ の対称行列で、 $\sum_{s_{2}} T_{s_{1} s_{2}} T_{s_{2} s_{3}}$ は行列の積 $(T^{2})_{s_{1} s_{3}}$ そのものです。中間のスピンについて順に和をとっていくと、 $Z = \sum_{s_{1}} (T^{N})_{s_{1} s_{1}} = Tr T^{N}$ となります。

$T$ を $T = P D P^{- 1}$ と対角化すれば、 $T^{N} = P D^{N} P^{- 1}$ で、トレースは $P$ によらない（ $Tr (P D^{N} P^{- 1}) = Tr (D^{N} P^{- 1} P)$ ）ので $Z = λ_{+}^{N} + λ_{-}^{N}$ です（ $λ_{+} > ∣ λ_{-} ∣$ とします。 $T$ の成分はすべて正なので最大固有値は正で、もう一方より絶対値が大きくなります）。 $Z = λ_{+}^{N} {1 + (λ_{-} / λ_{+})^{N}}$ の第 2 項は $N \to \infty$ で 0 になるので、1 スピンあたりの自由エネルギーは $f = - lim_{N \to \infty} \frac{k _{B} T}{N} lo g Z = - k_{B} T lo g λ_{+}$ です。

相関関数 $⟨ s_{0} s_{r} ⟩$ は、位置 $0$ と $r$ に行列 $S = diag (1, - 1)$ （スピンの値を掛ける）を挟んで $⟨ s_{0} s_{r} ⟩ = Tr (S T^{r} S T^{N - r}) / Z$ と書けます。 $h = 0$ では $T = (e^{K} e^{- K} e^{- K} e^{K})$ （ $K = β J$ ）の固有ベクトルは $(1, 1) / 2$ （固有値 $2 cosh K$ ）と $(1, - 1) / 2$ （固有値 $2 sinh K$ ）で、 $S$ はこの 2 つを入れかえるので、 $⟨ s_{0} s_{r} ⟩ = \frac{λ _{+}^{N - r} λ _{-}^{r} + λ _{-}^{N - r} λ _{+}^{r}}{λ _{+}^{N} + λ _{-}^{N}} \to (\frac{λ _{-}}{λ _{+}})^{r} = (tanh K)^{r}$ となります。一般に（磁場があっても） $⟨ s_{0} s_{r} ⟩ - ⟨ s_{0} ⟩^{2} \propto (λ_{-} / λ_{+})^{r}$ なので、これを $e^{- r / ξ}$ と比べて $ξ = 1/ lo g (λ_{+} /∣ λ_{-} ∣)$ が得られます。

手順

ハミルトニアンを隣り合う 2 スピンの項の和に分け（1 体の項は両隣に半分ずつ配る）、転移行列 $T_{s s^{'}} = exp [β J s s^{'} + \frac{β h}{2} (s + s^{'})]$ を、行・列を $s, s^{'} = + 1, - 1$ の順に並べて書く。次近接相互作用があるときは、状態を $(s_{i}, s_{i + 1})$ の 4 通りにした $4 \times 4$ 行列にする。
固有方程式 $det (T - λ E) = 0$ を解いて固有値を求める。 $2 \times 2$ なら $λ_{\pm} = e^{K} cosh (β h) \pm e^{2 K} sinh^{2} (β h) + e^{- 2 K}$ （ $K = β J$ ）。
$Z = Tr T^{N} = λ_{+}^{N} + λ_{-}^{N}$ とし、熱力学極限で 1 スピンあたりの自由エネルギー $f = - k_{B} T lo g λ_{+}$ を求める。エネルギーや磁化は $f$ を $β$ や $h$ で微分して得る。
相関長は $ξ = 1/ lo g (λ_{+} /∣ λ_{-} ∣)$ 、連結相関関数は $⟨ s_{0} s_{r} ⟩ - ⟨ s_{0} ⟩^{2} \propto (λ_{-} / λ_{+})^{r}$ で求める（ $h = 0$ なら $⟨ s_{0} s_{r} ⟩ = (tanh β J)^{r}$ ）。

例題

1 次元イジング模型 $H = - J \sum_{i = 1}^{N} s_{i} s_{i + 1}$ （ $s_{i} = \pm 1$ 、 $J > 0$ 、磁場なし、周期境界条件 $s_{N + 1} = s_{1}$ ）を温度 $T$ のカノニカル分布で考える（ $β = 1/ k_{B} T$ ）。 $e^{2 β J} = 3$ となる温度で、 $N \to \infty$ での相関関数が $⟨ s_{0} s_{r} ⟩ \propto e^{- r / ξ}$ と振る舞うときの相関長 $ξ$ （格子間隔を単位とする）を求めよ。

例題の解答

手順 1: $K = β J$ とすると、 $h = 0$ の転移行列は
$T = (e^{K} e^{- K} e^{- K} e^{K}) .$

手順 2: $det (T - λ E) = (e^{K} - λ)^{2} - e^{- 2 K} = 0$ より $λ = e^{K} \pm e^{- K}$ 、すなわち $λ_{+} = 2 cosh K$ 、 $λ_{-} = 2 sinh K$ 。 $K > 0$ なので $λ_{+} > λ_{-} > 0$ 。

手順 4: 比は
$\frac{λ _{-}}{λ _{+}} = tanh K = \frac{e ^{2 K} - 1}{e ^{2 K} + 1} = \frac{3 - 1}{3 + 1} = \frac{1}{2} .$
よって $⟨ s_{0} s_{r} ⟩ = (1/2)^{r} = e^{- r l o g 2}$ で、
$ξ = \frac{1}{lo g ( λ _{+} / λ _{-} )} = \frac{1}{lo g 2} .$

答え: $\frac{1}{lo g 2}$

よくある誤り

磁場の項を $T_{s s^{'}} = exp [β J s s^{'} + β h (s + s^{'})]$ と各結合に丸ごと入れてしまう誤り。これでは各スピンの磁場の項を 2 回数えることになる。正しくは半分ずつ配って $exp [β J s s^{'} + \frac{β h}{2} (s + s^{'})]$ （または $exp [β J s s^{'} + β h s]$ としてもよいが、その場合 $T$ は対称でない）。
相関長を $ξ = 1/ lo g (λ_{-} / λ_{+})$ と比を逆にしてしまい負の値を得る誤り。 $∣ λ_{-} / λ_{+} ∣ < 1$ なので正しくは $ξ = 1/ lo g (λ_{+} /∣ λ_{-} ∣)$ 。例題では $ξ = 1/ lo g 2 > 0$ 。
反強磁性（ $J < 0$ ）で $λ_{-} = 2 sinh K < 0$ になるのに $lo g (λ_{+} / λ_{-})$ をそのまま計算してしまう誤り。正しくは絶対値をとり $ξ = 1/ lo g ∣ coth K ∣$ とし、相関関数は $⟨ s_{0} s_{r} ⟩ = (tanh K)^{r}$ で $r$ ごとに符号が交代する。
有限の $N$ で $Z = λ_{+}^{N}$ と決めつけたり、自由エネルギーを $- k_{B} T lo g (λ_{+} + λ_{-})$ としてしまう誤り。正しくは $Z = λ_{+}^{N} + λ_{-}^{N}$ で、 $N \to \infty$ の 1 スピンあたりの量としてはじめて $f = - k_{B} T lo g λ_{+}$ になる（ $h = 0$ なら $f = - k_{B} T lo g (2 cosh β J)$ ）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$N$ 個のイジングスピン $s_{i} = \pm 1$ （ $i = 1, \dots, N$ ）が格子間隔 $1$ の 1 次元の環（周期境界条件 $s_{N + 1} = s_{1}$ ）に並び、エネルギーが
$E = - J i = 1 \sum N s_{i} s_{i + 1} (J > 0)$
で与えられる（磁場はない）。系は温度 $T$ の熱平衡にあり、 $K = \frac{J}{k _{B} T}$ とする。
転移行列の固有値を $λ_{+} > ∣ λ_{-} ∣$ とし、 $N \to \infty$ での相関長を $ξ = \frac{1}{lo g ( λ _{+} / λ _{-} )}$ （格子間隔を単位とする）で定める。 $K = \frac{1}{2} lo g 2$ のとき、 $ξ$ を求めよ。