一般の準静的過程の仕事と熱

$P$ - $V$ 図上の任意の経路（ポリトロープ過程 $P V^{n} =$ 一定や直線経路など）について $W = \int P d V$ と第 1 法則 $d Q = d U + P d V$ を積分し、仕事・熱、吸熱と放熱が切りかわる点、吸収した熱の総量を求められる

前提

等温変化と断熱変化（高校物理熱と気体）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
定積変化・定圧変化とモル比熱（高校物理熱と気体）
直線的な過程での吸熱と放熱の切りかわり（高校物理熱と気体）

この技能までの道筋（80 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
大気圧による力（中学理科天気とその変化）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
ボイル・シャルルの法則（高校物理熱と気体）
気体の状態方程式（高校物理熱と気体）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
重力・垂直抗力・張力の性質（高校物理力と運動（知識））
慣性の法則と力のつり合い（高校物理力と運動（知識））
力の分解と質点のつり合い（高校物理力と運動）
運動の法則（運動方程式）（高校物理力と運動（知識））
運動方程式（高校物理力と運動）
運動量と力積（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
気体分子運動論（高校物理熱と気体）
理想気体の内部エネルギー（高校物理熱と気体）
静止摩擦力・最大摩擦力・動摩擦力（高校物理力と運動（知識））
静止摩擦力と動摩擦力（高校物理力と運動）
仕事（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
気体がする仕事と p-V 図（高校物理熱と気体）
熱力学第一法則（高校物理熱と気体）
等温変化と断熱変化（高校物理熱と気体）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
定積変化・定圧変化とモル比熱（高校物理熱と気体）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
直線的な過程での吸熱と放熱の切りかわり（高校物理熱と気体）

説明

理想気体の状態が $P$ - $V$ 図上の曲線に沿ってゆっくり（準静的に）変わるとき、その経路が等温・断熱・定積・定圧のどれでもなくても、気体がする仕事と吸収する熱を計算できるようになります。仕事は $W = \int P d V$ を経路に沿って積分し、熱は第 1 法則 $d Q = d U + P d V$ を積分して求めます。 $P V^{k} =$ 一定（ポリトロープ過程）や $P$ - $V$ 図で直線になる経路などを扱い、途中で吸熱から放熱に切りかわる点や、実際に吸収した熱の総量も求めます。熱機関のサイクルの効率を計算するときの基本になります。

なぜそうしてよいのか

準静的な過程では、気体の圧力が各瞬間に $P$ と決まっていて、体積が $d V$ だけ増えるとき気体は $P d V$ の仕事をします。これを経路に沿って足し合わせたものが $W = \int_{V_{1}}^{V_{2}} P d V$ で、 $P$ - $V$ 図の曲線の下の面積です。経路が $P = f (V)$ の形で与えられれば、あとは普通の定積分です。たとえば $P V^{k} = P_{1} V_{1}^{k}$ （ $k \neq = 1$ の定数。物質量 $n$ と区別するため指数を $k$ と書きます）なら
$W = \int_{V_{1}}^{V_{2}} \frac{P _{1} V _{1}^{k}}{V ^{k}} d V = \frac{P _{1} V _{1}^{k}}{1 - k} (V_{2}^{1 - k} - V_{1}^{1 - k}) = \frac{P _{1} V _{1} - P _{2} V _{2}}{k - 1}$
です（ $P_{2} V_{2}^{k} = P_{1} V_{1}^{k}$ を使いました）。 $k = 1$ は等温変化で、 $W = P_{1} V_{1} lo g \frac{V _{2}}{V _{1}}$ になります。

熱は経路の途中の小さな変化ごとに第 1 法則 $d Q = d U + P d V$ が成り立つので、これを積分します。理想気体の内部エネルギーは温度だけで決まり、 $U = n C_{V} T = \frac{C _{V}}{R} P V$ （状態方程式 $P V = n R T$ を使用）なので、 $Δ U = \frac{C _{V}}{R} (P_{2} V_{2} - P_{1} V_{1})$ は経路によらず始めと終わりの状態だけで決まります。よって $Q = Δ U + W$ です。単原子分子理想気体（ $C_{V} = \frac{3}{2} R$ ）のポリトロープ過程では $Q = (P_{2} V_{2} - P_{1} V_{1}) (\frac{3}{2} - \frac{1}{k - 1})$ となります。

途中で吸熱と放熱が入れかわるかどうかは、各点での $\frac{d Q}{d V} = \frac{C _{V}}{R} \frac{d ( P V )}{d V} + P$ の符号で判断します。体積が増える向きに進むなら、これが正の所で吸熱、負の所で放熱です。 $P$ - $V$ 図で直線の経路では $\frac{d Q}{d V}$ が $V$ の 1 次式になり、符号が切りかわる点が出ることがあります。そのときは「吸収した熱の総量」は $\frac{d Q}{d V} > 0$ の区間だけで積分したもので、差し引きの $Q$ とは異なります。

手順

経路を $P = f (V)$ の形で表す（ポリトロープなら $P = P_{1} V_{1}^{k} / V^{k}$ 、直線なら $P = aV + b$ ）
仕事 $W = \int_{V_{1}}^{V_{2}} f (V) d V$ を計算する
始めと終わりの $P V$ から内部エネルギーの変化 $Δ U = \frac{C _{V}}{R} (P_{2} V_{2} - P_{1} V_{1})$ を求める（単原子分子なら $C_{V} = \frac{3}{2} R$ ）
第 1 法則から $Q = Δ U + W$ を求める。正なら差し引きで吸熱、負なら放熱
途中で切りかわりがあるか調べるときは $\frac{d Q}{d V} = \frac{C _{V}}{R} \frac{d ( P V )}{d V} + P$ の符号を調べ、正の区間だけ積分して吸収した熱の総量を求める

例題

物質量一定の単原子分子理想気体（定積モル比熱 $C_{V} = \frac{3}{2} R$ 、 $R$ は気体定数）が、圧力 $P_{0}$ ・体積 $V_{0}$ の状態から、 $P V^{2} =$ 一定の関係を保ちながら準静的に体積 $2 V_{0}$ まで膨張した。この過程で気体が吸収した熱量 $Q$ （放出した場合は負とする）を、 $P_{0}, V_{0}$ を用いて求めよ。

例題の解答

手順 1: $P V^{2} = P_{0} V_{0}^{2}$ より $P = \frac{P _{0} V _{0}^{2}}{V ^{2}}$ 。終わりの圧力は $P_{2} = \frac{P _{0} V _{0}^{2}}{( 2 V _{0} ) ^{2}} = \frac{P _{0}}{4}$ 。

手順 2:
$W = \int_{V_{0}}^{2 V_{0}} \frac{P _{0} V _{0}^{2}}{V ^{2}} d V = P_{0} V_{0}^{2} [- \frac{1}{V}]_{V_{0}}^{2 V_{0}} = P_{0} V_{0}^{2} (\frac{1}{V _{0}} - \frac{1}{2 V _{0}}) = \frac{P _{0} V _{0}}{2}$

手順 3: 終わりの $P V$ は $\frac{P _{0}}{4} \cdot 2 V_{0} = \frac{P _{0} V _{0}}{2}$ なので
$Δ U = \frac{3}{2} (\frac{P _{0} V _{0}}{2} - P_{0} V_{0}) = - \frac{3}{4} P_{0} V_{0}$

手順 4:
$Q = Δ U + W = - \frac{3}{4} P_{0} V_{0} + \frac{1}{2} P_{0} V_{0} = - \frac{1}{4} P_{0} V_{0}$

手順 5（確認）: $\frac{d Q}{d V} = \frac{3}{2} \frac{d ( P V )}{d V} + P = \frac{3}{2} (- \frac{P _{0} V _{0}^{2}}{V ^{2}}) + \frac{P _{0} V _{0}^{2}}{V ^{2}} = - \frac{P _{0} V _{0}^{2}}{2 V ^{2}} < 0$ なので、途中ずっと放熱していて、切りかわりはない。

よって $Q = - \frac{P _{0} V _{0}}{4}$ （ $\frac{P _{0} V _{0}}{4}$ の熱を放出）。

答え: $- \frac{P _{0} V _{0}}{4}$

よくある誤り

ポリトロープ過程の仕事を $W = P_{1} (V_{2} - V_{1})$ のように圧力一定として計算してしまう誤り。圧力は $P = P_{1} V_{1}^{k} / V^{k}$ と変わるので、正しくは $W = \int_{V_{1}}^{V_{2}} P d V = \frac{P _{1} V _{1} - P _{2} V _{2}}{k - 1}$ （ $k \neq = 1$ ）。
熱を $Q = n C_{V} Δ T$ や $Q = n C_{p} Δ T$ で求めてしまう誤り。これらは定積・定圧変化だけで成り立つ式で、一般の経路では $Q = Δ U + W$ と、内部エネルギーの変化 $Δ U = n C_{V} Δ T$ と仕事を別々に求めて足す。
途中で吸熱から放熱に切りかわる経路で、「吸収した熱の総量」を差し引きの $Q = Δ U + W$ としてしまう誤り。 $\frac{d Q}{d V}$ の符号が変わる体積 $V^{*}$ を求め、 $\frac{d Q}{d V} > 0$ の区間だけで $\int \frac{d Q}{d V} d V$ を計算したものが吸収した熱の総量になる。
$Δ U$ も経路によって変わると考え、経路に沿って積分しようとして符号や係数を誤る誤り。理想気体の $U = \frac{C _{V}}{R} P V$ は状態だけで決まるので、 $Δ U = \frac{C _{V}}{R} (P_{2} V_{2} - P_{1} V_{1})$ と始点・終点だけで求めればよい。経路で変わるのは $W$ と $Q$ である。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
単原子分子理想気体が、圧力 $P_{0}$ 、体積 $V_{0}$ の状態から、関係式
$P V^{2} = P_{0} V_{0}^{2} (一定)$
を保ちながら準静的に膨張し、体積が $2 V_{0}$ になった（ $P_{0} > 0$ , $V_{0} > 0$ ）。単原子分子理想気体の内部エネルギーは $U = \frac{3}{2} P V$ で表されるものとする。この過程で気体が吸収した熱量 $Q$ を $P_{0}$ , $V_{0}$ を用いて表せ。ただし、気体が熱を放出した場合は $Q$ を負の値で表すものとする。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

カルノーサイクル（大学物理熱力学）