理想気体の内部エネルギー

単原子分子理想気体の内部エネルギー $U = \frac{3}{2} n R T = \frac{3}{2} p V$ を使って、状態変化での内部エネルギーの変化 $Δ U$ を求められる

前提

気体分子運動論（高校物理熱と気体）

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気体分子運動論（高校物理熱と気体）

説明

気体を構成する分子すべてがもつエネルギーの合計を、気体の内部エネルギー $U$ といいます。単原子分子理想気体では $U = \frac{3}{2} n R T = \frac{3}{2} p V$ と表せます。そのため、温度、または圧力と体積がわかれば、状態変化での内部エネルギーの変化 $Δ U$ を求められます。この $Δ U$ は、のちに学ぶ熱力学第1法則（熱・仕事・内部エネルギーの関係）で必ず必要になります。

なぜそうしてよいのか

単原子分子理想気体の分子は、ヘリウムやアルゴンのように 1 個の原子でできています。理想気体なので、分子どうしは衝突の瞬間以外は力を及ぼし合わず、分子間の位置エネルギーはありません。さらに単原子分子なので、回転や振動のエネルギーも考えなくてよいとします。したがって、気体の内部エネルギー $U$ は、分子の並進運動の運動エネルギーの合計そのものです。

気体分子運動論より、分子 1 個あたりの平均運動エネルギーは $\frac{1}{2} m v^{2} = \frac{3}{2} k T$ です。分子の数を $N$ とすると $U = N \cdot \frac{3}{2} k T$ になります。ここで、物質量 $n$ とアボガドロ定数 $N_{A}$ を使うと $N = n N_{A}$ です。ボルツマン定数は $k = \frac{R}{N _{A}}$ なので $N k = n R$ となり、
$U = \frac{3}{2} n R T$
が得られます。さらに状態方程式 $p V = n R T$ を代入すると $U = \frac{3}{2} p V$ とも書けます。これは $p V = \frac{1}{3} N m v^{2}$ から $U = N \cdot \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{3}{2} p V$ としても直接確かめられます。

この式からわかる大事な点があります。 $n$ が一定なら、 $U$ は絶対温度 $T$ だけで決まり、体積や圧力の途中の変わり方にはよりません。そのため変化量は $Δ U = \frac{3}{2} n R Δ T$ （ $Δ T = T_{2} - T_{1}$ ）で、はじめと終わりの状態だけから求まります。

手順

気体が単原子分子理想気体であること、物質量 $n$ が変化しないことを確認する
はじめの状態と終わりの状態の量を書き出す。温度 $T_{1}, T_{2}$ 、または圧力と体積 $(p_{1}, V_{1}), (p_{2}, V_{2})$ を整理する
温度がわかっているときは $Δ U = \frac{3}{2} n R (T_{2} - T_{1})$ を使う
圧力と体積がわかっているときは $Δ U = \frac{3}{2} (p_{2} V_{2} - p_{1} V_{1})$ を使う
符号を確かめる。温度が上がれば $Δ U > 0$ （増加）、下がれば $Δ U < 0$ （減少）、温度が変わらなければ $Δ U = 0$ になる

例題

物質量 $2.0 mol$ の単原子分子理想気体の温度が、 $300 K$ から $400 K$ に上がった。このときの気体の内部エネルギーの変化 $Δ U$ は何 J か。気体定数を $R = 8.3 J/ (mol \cdot K)$ 、気体の物質量は変化しないものとし、有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

手順1: 気体は単原子分子理想気体で、物質量 $n = 2.0 mol$ は一定である。
手順2: はじめの温度は $T_{1} = 300 K$ 、終わりの温度は $T_{2} = 400 K$ なので、 $T_{2} - T_{1} = 100 K$ である。
手順3: 温度がわかっているので、次の式で求める。
$Δ U = \frac{3}{2} n R (T_{2} - T_{1}) = \frac{3}{2} \times 2.0 \times 8.3 \times 100 = 2490 J$
有効数字 2 桁に丸めると $2.5 \times 1 0^{3} J$ となる。
手順5: 温度が上がったので $Δ U > 0$ となり、内部エネルギーは増加している。符号も正しい。
よって $Δ U = 2.5 \times 1 0^{3} J$ である。

答え: $2.5 \times 1 0^{3}$

よくある誤り

$Δ U = \frac{3}{2} Δ p Δ V$ のように、圧力の変化と体積の変化を掛けてしまう誤り。正しくは、それぞれの状態で $p V$ を計算してから差をとり、 $Δ U = \frac{3}{2} (p_{2} V_{2} - p_{1} V_{1})$ とする。
内部エネルギーそのものを求めるときに、セルシウス温度を代入してしまう誤り（例: $2 7^{\circ} C$ で $U = \frac{3}{2} n R \times 27$ ）。正しくは絶対温度を使い、 $U = \frac{3}{2} n R \times 300$ とする。温度差 $Δ T$ だけは、 $K$ でも $^{\circ} C$ でも同じ値になる。
体積が変われば内部エネルギーも変わると考え、温度一定（等温変化）でも $Δ U \neq = 0$ としてしまう誤り。正しくは、 $n$ 一定の理想気体では $U$ は $T$ だけで決まるので、等温変化では $Δ U = \frac{3}{2} n R \times 0 = 0$ になる。
二原子分子の気体（酸素 $O_{2}$ など）にも $U = \frac{3}{2} n R T$ を使ってしまう誤り。正しくは、この式が成り立つのは単原子分子理想気体だけである。二原子分子では分子の回転のエネルギーも加わるため、係数は $\frac{3}{2}$ にならない。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

熱力学第一法則（高校物理熱と気体）