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熱と気体の問題

難易度 2教科書の章末問題レベル高校物理熱と気体

断熱材でできたシリンダーとピストンに、物質量 $0.20 mol$ の単原子分子理想気体が閉じこめられている。ピストンを押して気体をすばやく圧縮したところ、ピストンが気体にした仕事は $3.0 \times 1 0^{2} J$ であった。

気体と外部との熱の出入りはないものとし、気体定数を $8.3 J/ (mol \cdot K)$ とする。また、物質量 $n$ の単原子分子理想気体の内部エネルギーは、絶対温度を $T$ として $\frac{3}{2} n R T$ （ $R$ は気体定数）で表される。この圧縮によって、気体の温度は何 K 上昇したか。有効数字 2 桁で求めよ。

押す気体

0.20 mol

シリンダーとピストンは断熱材でできている

この問題で使うもの

等温変化と断熱変化（説明と入口の問題）
理想気体の内部エネルギー（説明と入口の問題）
熱力学第一法則（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（52 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

熱の出入りがない（断熱変化）ので、熱力学第一法則で $Q = 0$ とおこう。

ヒント 2

外部からされた仕事を $W^{'}$ とすると $Δ U = Q + W^{'}$ 。内部エネルギーの変化は $Δ U = \frac{3}{2} n R Δ T$ と表せる。

ヒント 3

$Δ U = 3.0 \times 1 0^{2} J$ なので、 $\frac{3}{2} \times 0.20 \times 8.3 \times Δ T = 300$ を解く。

答えと解説

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1.2 \times 1 0^{2}

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使う法則

熱力学第一法則を「気体が外部からされた仕事 $W^{'}$ 」を使って書くと
$Δ U = Q + W^{'}$
（ $Δ U$ : 内部エネルギーの変化、 $Q$ : 気体が吸収した熱量）である。

シリンダーとピストンは断熱材でできていて熱の出入りがないので $Q = 0$ （断熱変化）。ピストンが気体にした仕事は $W^{'} = 3.0 \times 1 0^{2} J$ なので
$Δ U = 0 + 3.0 \times 1 0^{2} = 3.0 \times 1 0^{2} J$

温度の上昇

単原子分子理想気体では $Δ U = \frac{3}{2} n R Δ T$ なので
$\frac{3}{2} \times 0.20 \times 8.3 \times Δ T = 3.0 \times 1 0^{2}$
$2.49 Δ T = 300$
$Δ T = \frac{300}{2.49} ≒ 120.5 K$

有効数字 2 桁で $1.2 \times 1 0^{2} K$ 上昇した。

別解

断熱なので $Q = 0$ 。熱力学第1法則 $Δ U = Q + W_{受}$ （ $W_{受}$ : 気体が外部からされた仕事）より $Δ U = 3.0 \times 1 0^{2} J$ 。

$Δ U = \frac{3}{2} n R Δ T$ なので
$Δ T = \frac{2Δ U}{3 n R} = \frac{2 \times 3.0 \times 1 0 ^{2}}{3 \times 0.20 \times 8.3} = \frac{600}{4.98} = 120.5 \dots \approx 1.2 \times 1 0^{2} K$ 。

検算: $\frac{3}{2} \times 0.20 \times 8.3 \times 120.5 = 2.49 \times 120.5 \approx 300 J$ で一致する。

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