等温変化と断熱変化

等温変化では $Δ U = 0$ で $Q = W$ 、断熱変化では $Q = 0$ で $Δ U = - W$ となることを使い、熱量・仕事・温度変化を求め、断熱圧縮で温度が上がることを説明できる

前提

熱力学第一法則（高校物理熱と気体）

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熱力学第一法則（高校物理熱と気体）

説明

等温変化（温度を一定に保つ変化）と断熱変化（熱の出入りがない変化）は、熱力学第一法則 $Δ U = Q - W$ の 3 つの量のうち 1 つが 0 になる特別な変化です。そのため、残りの 2 つの量の関係が簡単になり、吸収した熱量・仕事・温度変化を少ない手がかりで求められます。エンジンのシリンダー内の気体を急に圧縮したときや、自転車の空気入れが熱くなる理由を説明するときにも使います。

なぜそうしてよいのか

理想気体の内部エネルギー $U$ は温度 $T$ だけで決まります。単原子分子理想気体なら $U = \frac{3}{2} n R T$ です。したがって、温度が変わらない等温変化では $Δ U = 0$ です。これを第一法則 $Δ U = Q - W$ に入れると $0 = Q - W$ 、つまり $Q = W$ となります。等温で膨張する気体は外部に仕事をした分だけ熱を吸収し、等温で圧縮される気体は外部からされた仕事の分だけ熱を放出します。なお、気体が外部にした仕事 $W$ は $p$ - $V$ 図のグラフと $V$ 軸の間の面積です。等温変化では圧力が一定ではないので、 $W$ を $p Δ V$ で計算することはできません。

断熱変化では熱の出入りがないので $Q = 0$ です。第一法則に入れると $Δ U = - W$ となります。断熱圧縮では体積が減るので、気体が外部にした仕事は $W < 0$ です。よって $Δ U = - W > 0$ となり、内部エネルギーが増えて温度が上がります。外部からされた仕事がそのまま、逃げ場のない内部エネルギーになるからです。逆に断熱膨張では $W > 0$ なので $Δ U < 0$ となり、温度が下がります。

分子の立場で見ると、押し込まれてくるピストンに当たって跳ね返った分子は、当たる前より速くなります。動いているバットでボールを打ち返すのと同じです。分子の平均の運動エネルギーが増えるので、温度が上がります。

手順

変化の種類を見分ける。「温度を一定に保って」なら等温変化、「熱の出入りがないように（断熱材で囲んで、急激に）」なら断熱変化。
$W$ を「気体が外部にした仕事」として符号を決める。膨張なら $W > 0$ 、圧縮なら $W < 0$ にする。「外部から気体にされた仕事 $W^{'}$ 」が与えられたときは $W = - W^{'}$ とする。
等温変化なら $Δ U = 0$ より $Q = W$ 、断熱変化なら $Q = 0$ より $Δ U = - W$ を使って、未知の量を求める。
温度変化を求めるときは、内部エネルギーの式 $Δ U = \frac{3}{2} n R Δ T$ （単原子分子理想気体の場合）に代入して $Δ T$ を求める。

例題

なめらかに動くピストンのついたシリンダーに、単原子分子理想気体 $1.0 mol$ が入っている。シリンダーとピストンは断熱材でできており、気体と外部の間で熱の出入りはない。ピストンを押して気体を圧縮したところ、外部から気体に $150 J$ の仕事がされた。気体定数を $8.3 J/ (mol \cdot K)$ とし、単原子分子理想気体の内部エネルギーは $U = \frac{3}{2} n R T$ （ $n$ は物質量、 $T$ は絶対温度）で表されるものとする。気体の温度は何 K 上昇したか。有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

手順1：熱の出入りがないので、これは断熱変化（断熱圧縮）である。

手順2：外部から気体に $150 J$ の仕事がされたので、気体が外部にした仕事は $W = - 150 J$ である。

手順3：断熱変化なので $Q = 0$ である。よって $Δ U = - W = 150 J$ となる。内部エネルギーが増えたので、温度は上がる。

手順4： $Δ U = \frac{3}{2} n R Δ T$ に代入すると
$150 = \frac{3}{2} \times 1.0 \times 8.3 \times Δ T = 12.45 Δ T$
となる。よって
$Δ T = \frac{150}{12.45} ≒ 12.0 \dots$
であり、有効数字 2 桁で $12 K$ 上昇した。

答え: $12$

よくある誤り

断熱圧縮でも温度は変わらないと考え、ボイルの法則 $p V =$ 一定を使ってしまう誤り。正しくは、断熱変化では $Q = 0$ だが温度は変わる（圧縮で上昇、膨張で低下）ので、 $p V$ は一定にならない。 $p V = n R T$ は成り立つが、 $T$ も変化することに注意する。
外部からされた仕事 $W^{'}$ をそのまま $W$ として、断熱圧縮で $Δ U = - W^{'} < 0$ （温度が下がる）としてしまう誤り。正しくは $W = - W^{'}$ なので、 $Δ U = - W = W^{'} > 0$ となり温度は上がる。
等温変化では温度が一定だから熱の出入りもない（ $Q = 0$ ）と考えてしまう誤り。正しくは、等温変化で 0 になるのは $Δ U$ であり、 $Q = W$ となる。たとえば等温膨張で $W = 200 J$ なら、気体は $Q = 200 J$ の熱を吸収している。
等温変化の仕事を、圧力一定のときの式 $W = p Δ V$ で計算してしまう誤り。正しくは、等温変化では体積とともに圧力が変わるので、 $W$ は $p$ - $V$ 図のグラフと $V$ 軸の間の面積で表される。問題で $Q$ か $W$ の一方が与えられたら、 $Q = W$ を使ってもう一方を求める。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

等温変化と断熱変化

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なぜそうしてよいのか

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よくある誤り

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