プラズマ物理の問題

電子密度 $n_e$、電子温度 $T_e$ の一様な電離プラズマを考える。電子のデバイ長 ${\lambda }_D$ と、プラズマパラメータ（デバイ球の中の電子の数）$N_D$ を、SI 単位系で
$${\lambda }_D=\sqrt{\frac{{\epsilon }_0{k}_B{T}_e}{n_e{e}^2}},N_D=\frac{4\pi }{3}{n}_e{\lambda }_D^3$$
で定義する。ここで ${\epsilon }_0$ は真空の誘電率、$k_B$ はボルツマン定数、$e$ は電気素量である。イオンによる遮蔽の寄与は考えない。

プラズマ A の電子密度と電子温度をそれぞれ $n_0$, $T_0$ とする。プラズマ B は、電子温度が A の $4$ 倍、電子密度が A の $\frac{1}{9}$ 倍である。プラズマ B のプラズマパラメータは、プラズマ A のプラズマパラメータの何倍か。

電子密度 $n$、電子温度 $T$ の一様なプラズマがある。デバイ長を
$${\lambda }_D=\sqrt{\frac{{\epsilon }_0{k}_{B}T}{n{e}^2}}$$
とし、デバイ球（半径 ${\lambda }_D$ の球）の中の電子の数を
$$N_D=\frac{4\pi }{3}n{\lambda }_D^3$$
で定める。ここで ${\epsilon }_0$ は真空の誘電率、$k_B$ はボルツマン定数、$e$ は電気素量である。

このプラズマの電子温度を $4$ 倍、電子密度を $16$ 倍にしたとき、$N_D$ はもとの何倍になるか。整数で答えよ。

SI 単位系を用いる。真空の誘電率を ${\epsilon }_0$、電気素量を $e$（$e>0$）、ボルツマン定数を $k_B$ とする。

電子と 1 価の陽イオンからなる一様な完全電離プラズマが、熱平衡にある。電子の数密度を $n$、電子温度を $T$ とする。全体は電気的に中性で、イオンの数密度も $n$ である。ここでは電子だけによる遮蔽を考え、デバイ長 ${\lambda }_D$、デバイ球内の電子数（プラズマパラメータ）$N_D$、電子 1 個あたりの平均的な体積と等しい体積の球の半径（ウィグナー・ザイツ半径）$a$、および結合パラメータ $\Gamma$ をそれぞれ次で定義する。
$${\lambda }_D=\sqrt{\frac{{\epsilon }_0{k}_{B}T}{n{e}^2}},N_D=\frac{4\pi }{3}n{\lambda }_D^3,\frac{4\pi }{3}{a}^3=\frac{1}{n},\Gamma =\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_{0}a{k}_{B}T}$$

はじめ、このプラズマのプラズマパラメータは $N_D=N_0$ であった。このプラズマを、一様性と電気的中性を保ったまま、体積が $\frac{1}{8}$ になるまでゆっくり断熱圧縮した。電子は比熱比 $\gamma =\frac{5}{3}$ の理想気体として断熱変化するものとし、粒子の生成・消滅や放射によるエネルギー損失はないものとする。

圧縮後の結合パラメータ $\Gamma$ を $N_0$ を用いて表せ。

一様な電子-イオンプラズマが熱平衡にあり、電子温度は $k_{\mathrm{B}}{T}_e=5.0\mathrm{eV}$ である。このプラズマのデバイ長は電子の寄与だけで決まるとし（イオンの寄与は無視する）、
$${\lambda }_D=\sqrt{\frac{{\epsilon }_0{k}_{\mathrm{B}}{T}_e}{n_e{e}^2}}$$
で与えられるものとする。ここで $n_e$ は電子密度である。デバイ球（半径 ${\lambda }_D$ の球）の中に含まれる電子の個数
$$N_D=\frac{4\pi }{3}{n}_e{\lambda }_D^3$$
を測定したところ、$N_D=1.0\times 10^4$ であった。このときの電子密度 $n_e$ を、単位を ${\mathrm{m}}^{-3}$ として有効数字 2 桁で求めよ。SI 単位系を用い、真空の誘電率を ${\epsilon }_0=8.85\times 10^{-12}F/m$、電気素量を $e=1.60\times 10^{-19}\mathrm{C}$、$1\mathrm{eV}=1.60\times 10^{-19}\mathrm{J}$ とする。

電子と 2 価の陽イオン（電荷 $+2e$）だけからなる一様なプラズマが、全体として電気的に中性な熱平衡状態にある。電子密度を $n_e$、電子温度を $T_e$、イオン温度を $T_i=\frac{T_e}{2}$ とする。SI 単位系を用い、真空の誘電率を ${\epsilon }_0$、ボルツマン定数を $k_B$、電気素量を $e$ とする。

デバイ遮蔽を線形近似（$|q\varphi |\ll k_{B}T$）で扱うと、電子とイオンの両方の応答を考えたデバイ長 ${\lambda }_D$ は
$$\frac{1}{{\lambda }_D^2}=\sum _s\frac{n_s{q}_s^2}{{\epsilon }_0{k}_B{T}_s}$$
（和は電子とイオンについてとる。$n_s,q_s,T_s$ はそれぞれの粒子種の密度・電荷・温度）で与えられる。一方、電子の応答だけを考えたデバイ長を ${\lambda }_{De}=\sqrt{\frac{{\epsilon }_0{k}_B{T}_e}{n_e{e}^2}}$ とする。

プラズマパラメータを「半径がデバイ長の球の中にある電子の数」と定め、${\lambda }_D$ を用いたものを $N_D=\frac{4\pi }{3}{n}_e{\lambda }_D^3$、${\lambda }_{De}$ を用いたものを $N_{De}=\frac{4\pi }{3}{n}_e{\lambda }_{De}^3$ とする。比 $\frac{N_D}{N_{De}}$ を、根号を含む最も簡単な形で求めよ。