プラズマパラメータ

デバイ球の中の粒子数 $N_{D} = \frac{4 π}{3} n λ_{D}^{3} \propto \frac{T ^{3/2}}{n ^{1/2}}$ を計算し、密度・温度・イオンの価数を変えたときの $N_{D}$ の比を求め、 $N_{D} ≫ 1$ かどうかで集団的なふるまいが成り立つかを判定できる

前提

デバイ遮蔽とデバイ長（大学物理プラズマ物理）

この技能までの道筋（148 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
静電気・放電と電子（中学理科物理分野の用語と知識）
帯電と電気量保存の法則（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
クーロンの法則と電場・電気力線（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
ガウスの法則（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
内積となす角（数学C ベクトル）
位置ベクトルと内分点・外分点（数学C ベクトル）
交点の位置ベクトル（数学C ベクトル）
空間ベクトルと直線・平面（数学C ベクトル）
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
行列式（大学数学線形代数）
空間ベクトルの外積（大学数学ベクトル解析）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
置換積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
重積分と累次積分（大学数学微分積分）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）
多変数の連鎖律（大学数学微分積分）
重積分の変数変換とヤコビアン（大学数学微分積分）
曲面の媒介変数表示と面積要素（大学数学ベクトル解析）
面積分と流束（大学数学ベクトル解析）
ガウスの法則による電場（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
2 次不等式（数学I 2次関数）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
増減表と極値（数学II 微分法と積分法）
関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）
平均値の定理（数学III 微分法）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（数学III 微分法）
増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）
漸近展開と極限（大学数学微分積分）
重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
大気圧による力（中学理科天気とその変化）
ボイル・シャルルの法則（高校物理熱と気体）
気体の状態方程式（高校物理熱と気体）
重力・垂直抗力・張力の性質（高校物理力と運動（知識））
慣性の法則と力のつり合い（高校物理力と運動（知識））
力の分解と質点のつり合い（高校物理力と運動）
運動の法則（運動方程式）（高校物理力と運動（知識））
運動方程式（高校物理力と運動）
運動量と力積（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
気体分子運動論（高校物理熱と気体）
理想気体の内部エネルギー（高校物理熱と気体）
静止摩擦力・最大摩擦力・動摩擦力（高校物理力と運動（知識））
静止摩擦力と動摩擦力（高校物理力と運動）
仕事（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
気体がする仕事と p-V 図（高校物理熱と気体）
熱力学第一法則（高校物理熱と気体）
定積変化・定圧変化とモル比熱（高校物理熱と気体）
熱機関のサイクルと熱効率（高校物理熱と気体）
等温変化と断熱変化（高校物理熱と気体）
直線的な過程での吸熱と放熱の切りかわり（高校物理熱と気体）
一般の準静的過程の仕事と熱（大学物理熱力学）
カルノーサイクル（大学物理熱力学）
実験器具の使い方と安全（中学理科化学分野の用語と知識）
状態変化と粒子・融点・沸点・蒸留（中学理科化学分野の用語と知識）
熱運動と絶対温度（高校物理熱と気体（知識））
ボイル・シャルルの法則と理想気体（高校物理熱と気体（知識））
気体分子運動論（高校物理熱と気体（知識））
熱力学第一法則（高校物理熱と気体（知識））
熱機関と熱効率（高校物理熱と気体（知識））
可逆変化・不可逆変化と熱力学第二法則（高校物理熱と気体（知識））
カルノーの定理と効率・成績係数の上限（大学物理熱力学）
オームの法則（中学理科電流と電圧）
電力と電力量（中学理科電流と電圧）
直列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
並列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
電熱線の発熱量と水の温度上昇（中学理科電流と電圧）
熱量と比熱・熱容量（高校物理熱と気体）
可逆過程のエントロピー変化（大学物理熱力学）
組合せ（数学A 場合の数と確率）
同じものを含む順列・重複組合せ（数学A 場合の数と確率）
ミクロカノニカル分布とボルツマンのエントロピー（大学物理統計力学）
カノニカル分布と分配関数（大学物理統計力学）
分数関数の積分（部分分数分解）（数学III 積分法）
変数分離形（大学数学微分方程式）
無限等比級数と無限級数（数学III 極限）
べき級数と収束半径（大学数学微分積分）
複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）
オイラーの公式（大学数学微分積分）
三角関数の合成（数学II 三角関数）
定数係数 2 階線形（斉次）（大学数学微分方程式）
勾配・発散・回転（大学数学ベクトル解析）
デバイ遮蔽とデバイ長（大学物理プラズマ物理）

説明

デバイ長 $λ_{D}$ を半径とする球（デバイ球）の中に含まれる粒子の数 $N_{D} = \frac{4 π}{3} n λ_{D}^{3}$ をプラズマパラメータといいます。 $N_{D}$ は、電離した気体が「多数の粒子が協力して電場を打ち消し合う」プラズマとしてふるまうかどうかの判定に使います。 $N_{D} ≫ 1$ なら集団的なふるまい（遮蔽やプラズマ振動）が成り立ち、 $N_{D}$ が 1 程度以下なら個々の粒子どうしの相互作用が支配的になります。この技能では $N_{D}$ を計算し、密度・温度・イオンの価数を変えたときの比を求めます。

なぜそうしてよいのか

電子だけが遮蔽に寄与するとき $λ_{D} = \frac{ε _{0} k _{B} T _{e}}{n _{e} e ^{2}}$ なので、デバイ球の中の電子数は
$N_{D} = \frac{4 π}{3} n_{e} λ_{D}^{3} = \frac{4 π}{3} n_{e} (\frac{ε _{0} k _{B} T _{e}}{n _{e} e ^{2}})^{3/2} = \frac{4 π}{3} \frac{( ε _{0} k _{B} T _{e} ) ^{3/2}}{e ^{3} n _{e}^{1/2}}$
となり、 $N_{D} \propto \frac{T _{e}^{3/2}}{n _{e}^{1/2}}$ です。密度を上げると球の体積あたりの粒子数は増えますが、 $λ_{D} \propto n_{e}^{- 1/2}$ で球の体積が $n_{e}^{- 3/2}$ に比例して縮むため、差し引きで $n_{e}^{- 1/2}$ になります。

デバイ遮蔽の導出では、ボルツマン分布の密度を「なめらかな連続量」として扱い、さらに $∣ e ϕ ∣ ≪ k_{B} T$ として線形化しました。これが正しいのは、遮蔽する雲（デバイ球）の中に粒子が十分たくさんあって平均がとれるときです。 $N_{D}$ が小さいと、遮蔽を担う粒子が数個しかなく、統計的な扱いが成り立ちません。

$N_{D}$ はエネルギーの比とも結びついています。粒子どうしの平均間隔を $a = n^{- 1/3}$ とすると、隣どうしのクーロンエネルギー $\frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} a}$ と熱運動のエネルギー $k_{B} T$ の比は
$\frac{k _{B} T}{e ^{2} / ( 4 π ε _{0} a )} = \frac{4 π ε _{0} k _{B} T}{e ^{2} n ^{1/3}} = 4 π n^{2/3} λ_{D}^{2} = 4 π (\frac{3 N _{D}}{4 π})^{2/3}$
です。したがって $N_{D} ≫ 1$ は「熱運動が個々のクーロン相互作用よりずっと強く、粒子はほぼ自由に飛び回り、電場は集団として効く」ことを意味します。高温・低密度ほど $N_{D}$ は大きく、理想的なプラズマに近づきます。

手順

遮蔽に寄与する粒子の密度・温度・電荷から $λ_{D}$ を求める（電子のみなら $λ_{D} = \frac{ε _{0} k _{B} T _{e}}{n _{e} e ^{2}}$ ）
$N_{D} = \frac{4 π}{3} n λ_{D}^{3}$ を計算する。文字で表すと電子のみの場合 $N_{D} = \frac{4 π}{3} \frac{( ε _{0} k _{B} T _{e} ) ^{3/2}}{e ^{3} n _{e}^{1/2}}$
条件を変えたときの比は $N_{D} \propto \frac{T _{e}^{3/2}}{n _{e}^{1/2}}$ から求める。イオンの価数 $Z$ を変えるときは $n_{e} = Z n_{i}$ に注意して電子密度に直す
$N_{D} ≫ 1$ なら集団的なふるまい（プラズマとしての扱い）が成り立つ、 $N_{D} ≲ 1$ なら成り立たない、と判定する

例題

電子の数密度 $n_{e}$ 、電子温度 $T_{e}$ のプラズマのプラズマパラメータを $N_{D} = \frac{4 π}{3} n_{e} λ_{D}^{3}$ 、 $λ_{D} = \frac{ε _{0} k _{B} T _{e}}{n _{e} e ^{2}}$ とする（遮蔽には電子だけが寄与するとする）。電子密度を 4 倍、電子温度を 4 倍にしたとき、 $N_{D}$ は元の何倍になるか求めよ。

例題の解答

手順 1: $λ_{D} \propto \frac{T _{e}}{n _{e}}$ なので、 $T_{e}$ も $n_{e}$ も 4 倍なら $λ_{D}$ は $\frac{4}{4} = 1$ 倍で変わらない。

手順 2: $N_{D} = \frac{4 π}{3} n_{e} λ_{D}^{3}$ を文字で書くと $N_{D} = \frac{4 π}{3} \frac{( ε _{0} k _{B} T _{e} ) ^{3/2}}{e ^{3} n _{e}^{1/2}}$ 。

手順 3: $N_{D} \propto \frac{T _{e}^{3/2}}{n _{e}^{1/2}}$ より
$\frac{N _{D}^{'}}{N _{D}} = \frac{4 ^{3/2}}{4 ^{1/2}} = \frac{8}{2} = 4$
（手順 1 から見ても、 $λ_{D}$ が変わらず密度だけ 4 倍なので、球の中の粒子数は 4 倍になる。）

手順 4: 温度と密度を同じ割合で上げると $N_{D}$ は増え、集団的なふるまいはより成り立ちやすくなる。

答え: $4$

よくある誤り

$N_{D}$ が密度に比例すると考えて $N_{D} \propto n_{e}$ としてしまう誤り。 $λ_{D}^{3} \propto n_{e}^{- 3/2}$ も効くので、正しくは $N_{D} \propto n_{e} \cdot n_{e}^{- 3/2} = n_{e}^{- 1/2}$ で、密度を上げると $N_{D}$ は減る
球の体積を $λ_{D}^{3}$ や $\frac{4 π}{3} λ_{D}^{2}$ としてしまう誤り。正しくは半径 $λ_{D}$ の球の体積 $\frac{4 π}{3} λ_{D}^{3}$ を使い $N_{D} = \frac{4 π}{3} n λ_{D}^{3}$
温度の指数を $λ_{D}$ と同じ $\frac{1}{2}$ にして $N_{D} \propto T_{e}^{1/2}$ としてしまう誤り。 $λ_{D}^{3} \propto T_{e}^{3/2}$ なので、正しくは $N_{D} \propto T_{e}^{3/2}$
イオン密度 $n_{i}$ を固定したまま価数を $Z$ にしたとき電子密度を変えない誤り。電気的中性から $n_{e} = Z n_{i}$ となるので、電子だけの遮蔽なら $N_{D} \propto n_{e}^{- 1/2} = (Z n_{i})^{- 1/2}$ で $Z^{- 1/2}$ 倍になる

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
電子密度 $n$ 、電子温度 $T$ の一様なプラズマがある。デバイ長を
$λ_{D} = \frac{ε _{0} k _{B} T}{n e ^{2}}$
とし、デバイ球（半径 $λ_{D}$ の球）の中の電子の数を
$N_{D} = \frac{4 π}{3} n λ_{D}^{3}$
で定める。ここで $ε_{0}$ は真空の誘電率、 $k_{B}$ はボルツマン定数、 $e$ は電気素量である。
このプラズマの電子温度を $4$ 倍、電子密度を $16$ 倍にしたとき、 $N_{D}$ はもとの何倍になるか。整数で答えよ。

プラズマパラメータ

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題