熱機関のサイクルと熱効率

サイクルの各過程で吸収・放出する熱量を求めて吸収した熱量の合計 $Q_{in}$ と正味の仕事 $W$ を計算し、熱効率 $e = \frac{W}{Q _{in}}$ を求められる

前提

定積変化・定圧変化とモル比熱（高校物理熱と気体）

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算数中学高校大学大学院

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定積変化・定圧変化とモル比熱（高校物理熱と気体）

説明

熱機関は、気体などの作業物質に熱を吸収させて外部に仕事をさせ、もとの状態に戻すことを繰り返す装置です。このひと回りの変化を「サイクル」といいます。この技能を使うと、サイクルの各過程で出入りする熱量から、吸収した熱量の合計 $Q_{in}$ と正味の仕事 $W$ を求め、熱効率 $e = \frac{W}{Q _{in}}$ を計算できます。p-V 図で長方形などの閉じた図形として描かれるサイクルの問題でよく使います。

なぜそうしてよいのか

気体がサイクルを 1 周すると、圧力・体積・温度がすべて最初の値に戻ります。理想気体の内部エネルギーは温度だけで決まるので、1 周での内部エネルギーの変化は $Δ U = 0$ です。熱力学第一法則を「気体が吸収した熱量 $Q$ ＝内部エネルギーの増加 $Δ U$ ＋気体が外部にした仕事 $W^{'}$ 」と書き、各過程の式を 1 周分足し合わせると、 $Δ U$ の合計が 0 になるので「熱量の合計＝仕事の合計」が残ります。

各過程の熱量には正（吸収）と負（放出）があります。吸収した熱量の合計を $Q_{in}$ 、放出した熱量の大きさの合計を $Q_{out}$ とすると、正味の仕事は $W = Q_{in} - Q_{out}$ です。これは、p-V 図でサイクルが囲む面積に等しくなります（時計回りのとき正）。熱機関にとって「元手」は吸収した熱 $Q_{in}$ で、そのうち仕事に変わった割合が熱効率 $e = \frac{W}{Q _{in}} = 1 - \frac{Q _{out}}{Q _{in}}$ です。放出する熱 $Q_{out}$ は 0 にはならないので、 $e < 1$ になります。

計算では、状態方程式 $p V = n R T$ から $n R Δ T = Δ (p V)$ が成り立つことを使うと便利です。単原子分子理想気体なら、定積変化では $Q = n C_{V} Δ T = \frac{3}{2} Δ (p V)$ 、定圧変化では $Q = n C_{p} Δ T = \frac{5}{2} Δ (p V)$ と、温度を求めずに $p$ と $V$ だけで熱量が計算できます。

手順

各状態の圧力と体積を書き出し、積 $p V$ （ $= n R T$ ）を求める
各過程の熱量 $Q$ を求める。単原子分子では、定積変化は $Q = \frac{3}{2} Δ (p V)$ 、定圧変化は $Q = \frac{5}{2} Δ (p V)$ （どちらも $Δ$ は「後 − 前」）
$Q > 0$ の過程の熱量を足して $Q_{in}$ を、 $Q < 0$ の過程の熱量の大きさを足して $Q_{out}$ を求める
正味の仕事 $W$ を求める。p-V 図でサイクルが囲む面積（時計回りで正）として求め、 $W = Q_{in} - Q_{out}$ と一致するか確かめる
熱効率 $e = \frac{W}{Q _{in}}$ を計算する

例題

物質量 $n$ の単原子分子理想気体を、次の 4 つの過程でもとの状態に戻す。状態 A（圧力 $p_{0}$ 、体積 $V_{0}$ ）から、体積を一定に保って状態 B（圧力 $2 p_{0}$ 、体積 $V_{0}$ ）にする。次に圧力を一定に保って状態 C（圧力 $2 p_{0}$ 、体積 $2 V_{0}$ ）にする。次に体積を一定に保って状態 D（圧力 $p_{0}$ 、体積 $2 V_{0}$ ）にする。最後に圧力を一定に保って状態 A に戻す。定積モル比熱は $\frac{3}{2} R$ 、定圧モル比熱は $\frac{5}{2} R$ （ $R$ は気体定数）とする。このサイクルの熱効率を求めよ。

例題の解答

手順1：各状態の $p V$ は、A： $p_{0} V_{0}$ 、B： $2 p_{0} V_{0}$ 、C： $4 p_{0} V_{0}$ 、D： $2 p_{0} V_{0}$ 。
手順2：各過程の熱量を求める。
A→B（定積）： $Q_{A B} = \frac{3}{2} (2 p_{0} V_{0} - p_{0} V_{0}) = \frac{3}{2} p_{0} V_{0}$ （吸収）
B→C（定圧）： $Q_{B C} = \frac{5}{2} (4 p_{0} V_{0} - 2 p_{0} V_{0}) = 5 p_{0} V_{0}$ （吸収）
C→D（定積）： $Q_{C D} = \frac{3}{2} (2 p_{0} V_{0} - 4 p_{0} V_{0}) = - 3 p_{0} V_{0}$ （放出）
D→A（定圧）： $Q_{D A} = \frac{5}{2} (p_{0} V_{0} - 2 p_{0} V_{0}) = - \frac{5}{2} p_{0} V_{0}$ （放出）
手順3： $Q_{in} = \frac{3}{2} p_{0} V_{0} + 5 p_{0} V_{0} = \frac{13}{2} p_{0} V_{0}$ 、 $Q_{out} = 3 p_{0} V_{0} + \frac{5}{2} p_{0} V_{0} = \frac{11}{2} p_{0} V_{0}$ 。
手順4：p-V 図ではサイクルは縦 $p_{0}$ 、横 $V_{0}$ の長方形を時計回りに回るので、 $W = p_{0} V_{0}$ 。確認： $Q_{in} - Q_{out} = \frac{13}{2} p_{0} V_{0} - \frac{11}{2} p_{0} V_{0} = p_{0} V_{0}$ で一致する。
手順5： $e = \frac{W}{Q _{in}} = \frac{p _{0} V _{0}}{\frac{13}{2} p _{0} V _{0}} = \frac{2}{13}$ 。

答え: $\frac{2}{13}$

よくある誤り

すべての過程の熱量を符号つきで足して分母にしてしまう誤り。例題では $\frac{3}{2} + 5 - 3 - \frac{5}{2} = 1$ より分母が $p_{0} V_{0}$ となり $e = 1$ になってしまう。正しくは分母は吸収した熱量だけの合計 $Q_{in} = \frac{13}{2} p_{0} V_{0}$ で、 $e = \frac{2}{13}$ 。
定圧変化の熱量に定積モル比熱を使ってしまう誤り（B→C を $\frac{3}{2} (4 p_{0} V_{0} - 2 p_{0} V_{0}) = 3 p_{0} V_{0}$ とする）。定圧変化では気体が外部に仕事もするので、正しくは $Q = n C_{p} Δ T = \frac{5}{2} Δ (p V) = 5 p_{0} V_{0}$ 。
正味の仕事を、気体が膨張した過程の仕事だけで求めてしまう誤り（B→C の $2 p_{0} V_{0}$ を $W$ とする）。D→A では気体は外部から $p_{0} V_{0}$ の仕事をされている（気体がする仕事は $- p_{0} V_{0}$ ）ので、正しくは $W = 2 p_{0} V_{0} - p_{0} V_{0} = p_{0} V_{0}$ 。
熱効率を $e = \frac{W}{Q _{out}}$ や $e = \frac{Q _{out}}{Q _{in}}$ としてしまう誤り。正しくは $e = \frac{W}{Q _{in}} = 1 - \frac{Q _{out}}{Q _{in}}$ で、例題では $1 - \frac{11}{13} = \frac{2}{13}$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

カルノーサイクル（大学物理熱力学）
オットーサイクル・ディーゼルサイクルの熱効率（大学物理熱工学・伝熱）