熱と気体の問題

難易度 1教科書の例題レベル高校物理熱と気体

なめらかに動くピストンのついた容器に、物質量が一定の単原子分子理想気体が入っている。この気体の状態を、次の 4 つの過程で $A \to B \to C \to D \to A$ のように 1 周変化させた。

$A \to B$ ：体積 $V_{0}$ のまま、圧力を $p_{0}$ から $2 p_{0}$ にする（定積変化）
$B \to C$ ：圧力 $2 p_{0}$ のまま、体積を $V_{0}$ から $2 V_{0}$ にする（定圧変化）
$C \to D$ ：体積 $2 V_{0}$ のまま、圧力を $2 p_{0}$ から $p_{0}$ にする（定積変化）
$D \to A$ ：圧力 $p_{0}$ のまま、体積を $2 V_{0}$ から $V_{0}$ にする（定圧変化）

単原子分子理想気体の内部エネルギーは $U = \frac{3}{2} p V$ で表されるものとする。このサイクルを熱機関とみなしたとき、熱効率 $e$ を分数で求めよ。

A

B

C

D

V

p

O

V_{0}

2 V_{0}

p_{0}

2 p_{0}

この問題で使うもの

熱機関のサイクルと熱効率（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（53 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

技能「熱機関のサイクルと熱効率」を使う。各過程で気体が吸収・放出する熱量を求め、吸収した熱量の合計 $Q_{in}$ と正味の仕事 $W$ から $e = \frac{W}{Q _{in}}$ を計算する。

ヒント 2

各過程で熱力学第一法則 $Q = Δ U + W$ を使う。 $Δ U = \frac{3}{2} Δ (p V)$ 、定圧変化では $W = p Δ V$ 、定積変化では $W = 0$ 。正味の仕事は $p$ - $V$ 図の長方形の面積になる。

ヒント 3

$Q_{AB} = \frac{3}{2} p_{0} V_{0}$ 、 $Q_{BC} = 5 p_{0} V_{0}$ で、この 2 つが吸収する過程。 $C \to D$ と $D \to A$ は熱を放出する。正味の仕事は $W = p_{0} V_{0}$ 。

答えと解説

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\frac{2}{13}

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解説を読む

熱効率は、1 サイクルで気体が吸収した熱量の合計 $Q_{in}$ と、1 サイクルで気体が外部にした正味の仕事 $W$ から
$e = \frac{W}{Q _{in}}$
で求める。

手順 1：各過程の熱量を求める（熱力学第一法則 $Q = Δ U + W$ を使う。 $W$ は気体が外部にした仕事）

$A \to B$ （定積）：体積が変わらないので $W = 0$ 。
$Q_{AB} = Δ U = \frac{3}{2} (2 p_{0} V_{0} - p_{0} V_{0}) = \frac{3}{2} p_{0} V_{0} (吸収)$

$B \to C$ （定圧）： $W = 2 p_{0} (2 V_{0} - V_{0}) = 2 p_{0} V_{0}$ 、 $Δ U = \frac{3}{2} (4 p_{0} V_{0} - 2 p_{0} V_{0}) = 3 p_{0} V_{0}$ 。
$Q_{BC} = 3 p_{0} V_{0} + 2 p_{0} V_{0} = 5 p_{0} V_{0} (吸収)$

$C \to D$ （定積）： $W = 0$ 。
$Q_{CD} = \frac{3}{2} (2 p_{0} V_{0} - 4 p_{0} V_{0}) = - 3 p_{0} V_{0} (放出)$

$D \to A$ （定圧）： $W = p_{0} (V_{0} - 2 V_{0}) = - p_{0} V_{0}$ 、 $Δ U = \frac{3}{2} (p_{0} V_{0} - 2 p_{0} V_{0}) = - \frac{3}{2} p_{0} V_{0}$ 。
$Q_{DA} = - \frac{3}{2} p_{0} V_{0} - p_{0} V_{0} = - \frac{5}{2} p_{0} V_{0} (放出)$

手順 2：吸収した熱量の合計 $Q$ が正の過程（ $A \to B$ と $B \to C$ ）だけを足す。
$Q_{in} = \frac{3}{2} p_{0} V_{0} + 5 p_{0} V_{0} = \frac{13}{2} p_{0} V_{0}$

手順 3：正味の仕事 各過程の仕事の和、つまり $p$ - $V$ 図で長方形 $ABCD$ が囲む面積である。
$W = 0 + 2 p_{0} V_{0} + 0 + (- p_{0} V_{0}) = p_{0} V_{0}$
（確認：1 サイクルで $Δ U = 0$ なので、 $W$ は熱量の総和 $\frac{13}{2} p_{0} V_{0} - \frac{11}{2} p_{0} V_{0} = p_{0} V_{0}$ に等しく、一致する。）

手順 4：熱効率
$e = \frac{W}{Q _{in}} = \frac{p _{0} V _{0}}{\frac{13}{2} p _{0} V _{0}} = \frac{2}{13}$

別解

状態を $(p, V)$ で表すと、A $(p_{0}, V_{0})$ 、B $(2 p_{0}, V_{0})$ 、C $(2 p_{0}, 2 V_{0})$ 、D $(p_{0}, 2 V_{0})$ である。内部エネルギーは $U = \frac{3}{2} p V$ で与えられる。

各過程で気体が吸収する熱量 $Q$ を求める。

A→B（定積）： $W = 0$ 。 $Δ U = \frac{3}{2} (2 p_{0} V_{0} - p_{0} V_{0}) = \frac{3}{2} p_{0} V_{0}$ なので、 $Q_{A B} = \frac{3}{2} p_{0} V_{0} > 0$ （吸熱）。

B→C（定圧）： $Δ U = \frac{3}{2} (4 p_{0} V_{0} - 2 p_{0} V_{0}) = 3 p_{0} V_{0}$ 。気体がする仕事は $W = 2 p_{0} \cdot V_{0} = 2 p_{0} V_{0}$ 。 $Q_{B C} = 3 p_{0} V_{0} + 2 p_{0} V_{0} = 5 p_{0} V_{0} > 0$ （吸熱）。

C→D（定積）： $Δ U = \frac{3}{2} (2 p_{0} V_{0} - 4 p_{0} V_{0}) = - 3 p_{0} V_{0}$ 。 $W = 0$ なので $Q_{C D} = - 3 p_{0} V_{0}$ （放熱）。

D→A（定圧）： $Δ U = \frac{3}{2} (p_{0} V_{0} - 2 p_{0} V_{0}) = - \frac{3}{2} p_{0} V_{0}$ 。 $W = p_{0} (V_{0} - 2 V_{0}) = - p_{0} V_{0}$ 。 $Q_{D A} = - \frac{3}{2} p_{0} V_{0} - p_{0} V_{0} = - \frac{5}{2} p_{0} V_{0}$ （放熱）。

吸収する熱量の合計は $Q_{in} = \frac{3}{2} p_{0} V_{0} + 5 p_{0} V_{0} = \frac{13}{2} p_{0} V_{0}$ 。

1サイクルで気体がする正味の仕事は、 $p$ - $V$ 図の長方形の面積に等しく、 $W_{n e t} = (2 p_{0} - p_{0}) (2 V_{0} - V_{0}) = p_{0} V_{0}$ 。

よって熱効率は $e = \frac{W _{n e t}}{Q _{in}} = \frac{p _{0} V _{0}}{\frac{13}{2} p _{0} V _{0}} = \frac{2}{13}$ 。

検算：放熱の合計は $3 p_{0} V_{0} + \frac{5}{2} p_{0} V_{0} = \frac{11}{2} p_{0} V_{0}$ で、 $Q_{in} - Q_{o u t} = \frac{13}{2} p_{0} V_{0} - \frac{11}{2} p_{0} V_{0} = p_{0} V_{0} = W_{n e t}$ となり、一致する。

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