熱と気体の問題

難易度 3共通テストレベル高校物理熱と気体

なめらかに動くピストンのついたシリンダーに、物質量 $n$ の単原子分子理想気体が閉じこめられている。この気体の状態を、次の 4 つの過程からなるサイクル $A \to B \to C \to D \to A$ で変化させる。圧力 $p_{0}$ 、体積 $V_{0}$ は正の定数とする。

$A \to B$ ：体積を $V_{0}$ に保ったまま、圧力を $p_{0}$ から $2 p_{0}$ にする。
$B \to C$ ：圧力を $2 p_{0}$ に保ったまま、体積を $V_{0}$ から $3 V_{0}$ にする。
$C \to D$ ：体積を $3 V_{0}$ に保ったまま、圧力を $2 p_{0}$ から $p_{0}$ にする。
$D \to A$ ：圧力を $p_{0}$ に保ったまま、体積を $3 V_{0}$ から $V_{0}$ にする。

単原子分子理想気体の定積モル比熱は $\frac{3}{2} R$ 、定圧モル比熱は $\frac{5}{2} R$ （ $R$ は気体定数）とする。このサイクルを熱機関とみなしたとき、熱効率 $e$ （1 サイクルで気体が外部にした正味の仕事を、1 サイクルで気体が吸収した熱量の和で割ったもの）を分数で求めよ。

A

B

C

D

V

p

O

V_{0}

3 V_{0}

p_{0}

2 p_{0}

この問題で使うもの

熱機関のサイクルと熱効率（説明と入口の問題）
定積変化・定圧変化とモル比熱（説明と入口の問題）
気体がする仕事と p-V 図（説明と入口の問題）
気体の状態方程式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（53 技能）

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ヒント

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ヒント 1

状態方程式で各状態の温度を求め、温度が上がる過程（熱を吸収する過程）を見分ける。

ヒント 2

正味の仕事は $p$ - $V$ 図でサイクルが囲む面積。定積変化の熱量は $n \cdot \frac{3}{2} R Δ T$ 、定圧変化の熱量は $n \cdot \frac{5}{2} R Δ T$ 。

ヒント 3

$T_{0} = \frac{p _{0} V _{0}}{n R}$ とすると温度は A, B, C, D で $T_{0}, 2 T_{0}, 6 T_{0}, 3 T_{0}$ 。正味の仕事は $2 p_{0} V_{0}$ で、熱を吸収するのは $A \to B$ と $B \to C$ 。

答えと解説

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\frac{4}{23}

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解説を読む

状態方程式 $p V = n R T$ から各状態の温度を求める。 $T_{0} = \frac{p _{0} V _{0}}{n R}$ とおくと
$T_{A} = T_{0}, T_{B} = 2 T_{0}, T_{C} = 6 T_{0}, T_{D} = 3 T_{0}$

正味の仕事

定積変化では仕事をしない。定圧変化での仕事は $p Δ V$ なので
$W_{BC} = 2 p_{0} \times 2 V_{0} = 4 p_{0} V_{0}, W_{DA} = p_{0} \times (- 2 V_{0}) = - 2 p_{0} V_{0}$
よって 1 サイクルの正味の仕事は $W = 4 p_{0} V_{0} - 2 p_{0} V_{0} = 2 p_{0} V_{0}$ 。

吸収した熱量

温度が上がる過程 $A \to B$ 、 $B \to C$ で気体は熱を吸収し、温度が下がる $C \to D$ 、 $D \to A$ では熱を放出する。

$A \to B$ （定積）：
$Q_{AB} = n \cdot \frac{3}{2} R (2 T_{0} - T_{0}) = \frac{3}{2} n R T_{0} = \frac{3}{2} p_{0} V_{0}$
$B \to C$ （定圧）：
$Q_{BC} = n \cdot \frac{5}{2} R (6 T_{0} - 2 T_{0}) = 10 n R T_{0} = 10 p_{0} V_{0}$
（熱力学第一法則で確かめると、 $Δ U = \frac{3}{2} n R \cdot 4 T_{0} = 6 p_{0} V_{0}$ 、 $W_{BC} = 4 p_{0} V_{0}$ で $Q_{BC} = 10 p_{0} V_{0}$ と一致する。）

吸収した熱量の和は
$Q_{in} = \frac{3}{2} p_{0} V_{0} + 10 p_{0} V_{0} = \frac{23}{2} p_{0} V_{0}$

熱効率
$e = \frac{W}{Q _{in}} = \frac{2 p _{0} V _{0}}{\frac{23}{2} p _{0} V _{0}} = \frac{4}{23}$

別解

1 サイクルの仕事は長方形の面積で $W = (2 p_{0} - p_{0}) (3 V_{0} - V_{0}) = 2 p_{0} V_{0}$ 。
各過程の熱量（ $p V = n R T$ を使う）:
- A→B（定積、圧力増加で温度上昇）: $Q_{A B} = \frac{3}{2} n R Δ T = \frac{3}{2} Δ (p V) = \frac{3}{2} (2 p_{0} V_{0} - p_{0} V_{0}) = \frac{3}{2} p_{0} V_{0} > 0$ （吸熱）。
- B→C（定圧膨張）: $Q_{B C} = \frac{5}{2} Δ (p V) = \frac{5}{2} (6 p_{0} V_{0} - 2 p_{0} V_{0}) = 10 p_{0} V_{0}$ 。
ここで $Δ (p V) = 2 p_{0} \cdot 3 V_{0} - 2 p_{0} \cdot V_{0} = 4 p_{0} V_{0}$ なので $Q_{B C} = \frac{5}{2} \cdot 4 p_{0} V_{0} = 10 p_{0} V_{0} > 0$ （吸熱）。
- C→D（定積、圧力減少）: 放熱。D→A（定圧圧縮）: 放熱。
吸収熱量の和は $Q_{in} = \frac{3}{2} p_{0} V_{0} + 10 p_{0} V_{0} = \frac{23}{2} p_{0} V_{0}$ 。
熱効率 $e = \frac{2 p _{0} V _{0}}{\frac{23}{2} p _{0} V _{0}} = \frac{4}{23}$ 。
検算: 放熱は $Q_{C D} = \frac{3}{2} (3 p_{0} V_{0} - 6 p_{0} V_{0}) = - \frac{9}{2} p_{0} V_{0}$ 、 $Q_{D A} = \frac{5}{2} (p_{0} V_{0} - 3 p_{0} V_{0}) = - 5 p_{0} V_{0}$ 。総和 $\frac{23}{2} - \frac{9}{2} - 5 = 2$ で $W = 2 p_{0} V_{0}$ と一致（ $Δ U = 0$ ）。

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