ボイル・シャルルの法則

絶対温度 $T = t + 273$ に直し、 $\frac{p V}{T} =$ 一定を使って、ピストンで仕切られた気体などの変化後の圧力・体積・温度を求められる

前提

大気圧による力（中学理科天気とその変化）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）

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算数中学高校大学大学院

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比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）

説明

ボイル・シャルルの法則を使うと、容器やピストンの中に閉じ込めた気体の圧力・体積・温度のうち、変化後に分からない 1 つを求めることができます。圧力・体積・温度が同時に変わる場合でも使えます。タイヤやボンベの中の気体、ピストンで閉じ込めた気体を温めたり押し縮めたりする場面で使います。

なぜそうしてよいのか

気体の性質として、実験から次の 2 つが分かっています。(1) ボイルの法則：温度を一定に保つと、圧力 $p$ と体積 $V$ は反比例し、 $p V =$ 一定です。(2) シャルルの法則：圧力を一定に保つと、気体の体積は温度が $1^{\circ} C$ 上がるごとに $0^{\circ} C$ のときの体積の $\frac{1}{273}$ ずつ増えます。このまま温度を下げていくと、 $- 273^{\circ} C$ で体積が 0 になる計算になります。そこで $- 273^{\circ} C$ を 0 とする温度、すなわち絶対温度 $T = t + 273$ （単位は K（ケルビン）、 $t$ はセルシウス温度 $[^{\circ} C]$ ）を使うと、体積は $T$ に比例し、 $\frac{V}{T} =$ 一定と簡単に書けます。

圧力・体積・温度がすべて変わる変化は、2 段階に分けて考えられます。状態 $(p_{1}, V_{1}, T_{1})$ から、まず温度 $T_{1}$ のまま圧力を $p_{2}$ にして体積を $V^{'}$ にすると、ボイルの法則より $p_{1} V_{1} = p_{2} V^{'}$ です。次に圧力 $p_{2}$ のまま温度を $T_{2}$ にして体積を $V_{2}$ にすると、シャルルの法則より $\frac{V ^{'}}{T _{1}} = \frac{V _{2}}{T _{2}}$ 、つまり $V^{'} = \frac{V _{2} T _{1}}{T _{2}}$ です。これを 1 つめの式に代入すると $p_{1} V_{1} = \frac{p _{2} V _{2} T _{1}}{T _{2}}$ となり、両辺を $T_{1}$ で割ると
$\frac{p _{1} V _{1}}{T _{1}} = \frac{p _{2} V _{2}}{T _{2}}$
が得られます。これがボイル・シャルルの法則です。気体の状態は途中の経路によらず $p, V, T$ で決まるので、実際の変化がどんな順序で起きても、この関係が成り立ちます。ただし、気体の量（閉じ込めた気体そのもの）が変わらないことが条件です。

手順

気体が閉じ込められていて、量が変わらない（漏れたり入ったりしない）ことを確かめ、変化前を $p_{1}, V_{1}, T_{1}$ 、変化後を $p_{2}, V_{2}, T_{2}$ として分かっている値を書き出す
温度をセルシウス温度 $t [^{\circ} C]$ から絶対温度に直す： $T = t + 273 [K]$
ボイル・シャルルの法則の式を立てる： $\frac{p _{1} V _{1}}{T _{1}} = \frac{p _{2} V _{2}}{T _{2}}$
分からない量について式を解く（例： $p_{2} = p_{1} \cdot \frac{V _{1}}{V _{2}} \cdot \frac{T _{2}}{T _{1}}$ ）。圧力どうし・体積どうしは同じ単位にそろえて代入する
答えが問題文の指定した単位・有効数字になっているか確かめる

例題

なめらかに動くピストンを使い、シリンダー内に一定量の気体を閉じ込めた。はじめ、気体の温度は $27^{\circ} C$ 、圧力は $1.0 \times 1 0^{5} Pa$ 、体積は $3.0 \times 1 0^{- 3} m^{3}$ であった。この気体を加熱しながらピストンを押し込んだところ、温度は $127^{\circ} C$ 、体積は $2.0 \times 1 0^{- 3} m^{3}$ になった。気体は漏れないものとし、絶対温度 $T [K]$ とセルシウス温度 $t [^{\circ} C]$ の関係を $T = t + 273$ とする。このときの気体の圧力は何 Pa か。有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

手順 1：気体は漏れないので量は一定。変化前 $p_{1} = 1.0 \times 1 0^{5} Pa$ 、 $V_{1} = 3.0 \times 1 0^{- 3} m^{3}$ 、 $t_{1} = 27^{\circ} C$ 。変化後 $V_{2} = 2.0 \times 1 0^{- 3} m^{3}$ 、 $t_{2} = 127^{\circ} C$ 、求めるのは $p_{2}$ 。
手順 2：絶対温度に直す。 $T_{1} = 27 + 273 = 300 K$ 、 $T_{2} = 127 + 273 = 400 K$ 。
手順 3： $\frac{p _{1} V _{1}}{T _{1}} = \frac{p _{2} V _{2}}{T _{2}}$ 。
手順 4： $p_{2}$ について解くと
$p_{2} = p_{1} \cdot \frac{V _{1}}{V _{2}} \cdot \frac{T _{2}}{T _{1}} = 1.0 \times 1 0^{5} \times \frac{3.0 \times 1 0 ^{- 3}}{2.0 \times 1 0 ^{- 3}} \times \frac{400}{300} = 1.0 \times 1 0^{5} \times 1.5 \times \frac{4}{3} = 2.0 \times 1 0^{5} Pa$
手順 5：単位は Pa、有効数字 2 桁で $2.0 \times 1 0^{5}$ Pa。

答え: $2.0 \times 1 0^{5}$

よくある誤り

セルシウス温度のまま代入してしまう誤り。例えば $\frac{p _{1} V _{1}}{27} = \frac{p _{2} V _{2}}{127}$ とすると、温度の比が $\frac{127}{27}$ になり大きく外れる。正しくは $T = t + 273$ に直して $\frac{p _{1} V _{1}}{300} = \frac{p _{2} V _{2}}{400}$ とする。
気体が漏れたり加えられたりして量が変わる場合にも、そのまま $\frac{p _{1} V _{1}}{T _{1}} = \frac{p _{2} V _{2}}{T _{2}}$ を使ってしまう誤り。正しくは、この式が成り立つのは閉じ込めた気体の量が一定のときだけである。
重さのあるピストンや大気圧がかかっているのに、気体の圧力を大気圧 $p_{0}$ だけとしてしまう誤り。例えば断面積 $S$ 、質量 $m$ のピストンが上にのって静止しているとき、正しくは力のつり合い $pS = p_{0} S + m g$ から気体の圧力は $p = p_{0} + \frac{m g}{S}$ である（ $g$ は重力加速度の大きさ）。
圧力や体積の単位を両辺でそろえずに代入してしまう誤り。例えば左辺の体積を $m^{3}$ 、右辺を $c m^{3}$ で入れると $1 0^{6}$ 倍ずれる。正しくは、圧力どうし・体積どうしを同じ単位にそろえる（比で計算するので、そろってさえいればどの単位でもよい）。温度だけは必ず絶対温度 K を使う。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

気体の状態方程式（高校物理熱と気体）
ヘンリーの法則と溶ける気体の体積（高校化学溶液の性質）