質量 の水の温度を から まで上げる。水の比熱は温度によらず で一定とする。加えた熱はすべて水の温度上昇に使われ、容器や周囲への熱の移動と水の蒸発は無視する。このとき必要な熱量は何 か。有効数字 桁で答えよ。
水
熱と気体
扱うテーマ: 熱量と比熱・熱平衡、気体の状態方程式とボイル・シャルルの法則、気体分子運動論、熱力学第一法則と定積・定圧・等温・断熱変化、熱機関の効率
難易度の目安（高校物理）
- 難易度 1 教科書の例題レベル
- 難易度 2 教科書の章末問題レベル
- 難易度 3 共通テストレベル
- 難易度 4 国公立二次の標準レベル
- 難易度 5 難関大の二次レベル
ビーカーに質量 の水が入っており、水の温度は である。この水をあたためて、温度を にするのに必要な熱量は何 J か。ただし、水の比熱を とし、加えた熱はすべて水の温度上昇に使われ、ビーカーや周囲へ逃げる熱は無視できるものとする。
水 （）シリンダーとピストンで、一定量の気体を閉じこめた。はじめ、気体の圧力は 、体積は 、温度は であった。その後、ピストンを動かしながら気体を温めたところ、気体の体積は 、温度は になった。このときの気体の圧力は何 か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、気体は外にもれず、理想気体とみなせるものとし、絶対温度 とセルシウス温度 の関係は とする。
気体ピストンはじめの状態 断熱容器に温度 の水 が入っている。この水の中に、温度 に熱したアルミニウムの球 を入れ、よくかき混ぜたところ、やがて水と球は同じ温度になった。水の比熱を 、アルミニウムの比熱を とする。熱のやりとりは水と球のあいだだけで起こり、容器の熱容量や外部への熱の出入りは無視できるものとする。このときの水の温度は何 か。
アルミニウムの球 , 水 ,球を入れた直後のようす 温度 に熱した質量 の金属球を、断熱容器に入った温度 、質量 の水の中に静かに入れた。しばらくすると、金属球と水は同じ温度になった（熱平衡に達した）。このときの温度は何 か。
ただし、金属の比熱を 、水の比熱を とする。熱は金属球と水のあいだでだけやりとりされるものとし、容器の熱容量や外部への熱の出入り、水の蒸発は無視する。
金属球 （）水 （）容積 の密閉容器に気体が入っている。気体の温度は 、圧力は である。この気体を理想気体とみなし、気体定数を 、絶対温度を （ はセルシウス温度）とする。容器内の気体の物質量は何 mol か。有効数字 2 桁で求めよ。
密閉容器に入った気体 容積 の密閉容器に、理想気体 が入っている。気体の温度は である。気体定数を とし、絶対温度 とセルシウス温度 の関係を とする。このとき、容器内の気体の圧力は何 か。有効数字 2 桁で求めよ。
理想気体 容積温度 の水 に、温度 の氷 を入れて、よくかき混ぜた。しばらくすると全体が熱平衡に達した。このときの水の温度は何 か。
ただし、水の比熱を 、氷の融解熱を とする。容器の熱容量と、外部との熱のやりとりは無視できるものとする。
氷水 , 氷 ,断熱容器に入った温度 の水 に、温度 の氷 を入れ、よくかき混ぜたところ、やがて全体が一定の温度になった。熱平衡になったときの全体の温度は何 か。ただし、水の比熱を 、氷の融解熱を とし、容器の熱容量と、容器の外との熱のやりとりは無視する。
氷氷 （）水 （）断熱容器に氷を入れたようす なめらかに動くピストンのついた容器に、一定量の理想気体が閉じ込められている。この気体の状態を、状態 A（圧力 、体積 ）から状態 B（圧力 、体積 ）までゆっくり変化させた。この変化のあいだ、- 図（横軸に体積 、縦軸に圧力 ）の上で、気体の状態は点 A と点 B を結ぶ線分にそって動いた。この変化で気体が外部にした仕事は何 J か。有効数字 2 桁で答えよ。
ABなめらかに動くピストンのついた容器に、一定量の気体が入っている。この気体の状態を、状態 （圧力 、体積 ）から状態 （圧力 、体積 ）までゆっくり変化させた。この変化は、縦軸に圧力 、横軸に体積 をとった - 図上で、点 と点 を結ぶ線分で表される。状態 から状態 までの間に、気体が外部にした仕事は何 J か。有効数字 2 桁で求めよ。
ABなめらかに動くピストンのついたシリンダーに、単原子分子の理想気体が閉じこめられている。はじめ、気体の圧力は 、体積は であった。気体をゆっくり加熱したところ、圧力を に保ったまま、体積が になった。この変化での気体の内部エネルギーの変化 は何 J か。有効数字 2 桁で求めよ。
気体ピストンはじめの状態（圧力 、体積 ） なめらかに動くピストンのついたシリンダーに、単原子分子理想気体が閉じこめられている。気体の圧力を に保ったまま気体をゆっくり加熱したところ、体積が から に変化した。この変化での気体の内部エネルギーの変化 は何 J か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、単原子分子理想気体の内部エネルギーは、圧力 、体積 を用いて と表されるものとする。
気体ピストン変化前のようす（図は正確とは限りません） 断面積 のなめらかな円筒容器に、質量 の単原子分子 個からなる気体が入っている。円筒の軸にそって 軸をとる。容器の左端は固定された底面で、右側はピストンでふさがれている。ある瞬間、底面からピストンまでの距離は である。ピストンは 軸の正の向き（気体が膨張する向き）に一定の小さな速さ で動いている。
分子どうしは衝突せず、各分子は底面ともピストンとも弾性衝突をくり返す。ピストンは分子に比べて十分に重く、衝突によってピストンの速さは変わらない。分子の速度の 成分の大きさ に比べて は十分に小さく、 を含む項は無視してよい。また、分子が底面とピストンのあいだを 1 往復するあいだの の変化も無視してよい。重力は無視する。
このとき、容器内の気体の圧力を とする。気体分子全体の運動エネルギーが単位時間あたりに減少する量を、, , を用いて表せ。
ピストン断面積が一様なシリンダーの中に、質量 の気体分子が 1 個だけ入っている。シリンダーの左端は固定された壁で、右側はなめらかに動くピストンでふさがれている。壁とピストンの間の距離は である。分子はシリンダーの軸（ 軸、右向きを正とする）にそって速さ で往復運動し、壁ともピストンとも弾性衝突する。いま、ピストンを右向きに一定の速さ でゆっくり動かす。ここで は に比べて十分小さく、 の 2 乗を含む項は無視してよい。また、考える時間のあいだの と の変化は小さく、一定とみなしてよい。重力と分子どうしの衝突は考えない。
このとき、分子の運動エネルギーが単位時間あたりに減少する量を、, , , を用いて表せ。
ピストンなめらかに動くピストンのついたシリンダーに、ある量の理想気体を閉じ込めた。この気体にシリンダーの底から の熱量を与えたところ、気体はピストンを押し上げて膨張し、気体の内部エネルギーは 増加した。この間に気体が外部にした仕事は何 J か。
気体ピストン熱なめらかに動くピストンのついたシリンダーに、気体が閉じ込められている。この気体に外部から の熱量を与えたところ、気体は膨張してピストンを押し、外部に の仕事をした。この間の気体の内部エネルギーの変化 は何 J か。ただし、内部エネルギーが増加する場合を正とする。
気体ピストン熱量なめらかに動くピストンのついたシリンダーに、単原子分子理想気体 が閉じこめられている。気体の圧力を一定に保ったまま、ゆっくりと熱を加えたところ、気体の温度が から に上がった。気体定数を とし、単原子分子理想気体の定圧モル比熱は であるとする。この間に気体が吸収した熱量は何 J か。有効数字 2 桁で求めよ。
ピストン気体圧力を一定に保って熱を加える なめらかに動くピストンのついたシリンダーに、単原子分子の理想気体 が閉じこめられている。気体の圧力を一定に保ったまま、気体の温度を から までゆっくり上げた。このとき気体が吸収した熱量は何 J か。気体定数を とし、有効数字 2 桁で求めよ。
気体 ピストン熱を加える圧力一定で から まで加熱する なめらかに動くピストンのついたシリンダーに、物質量 の単原子分子理想気体が閉じこめられている。シリンダーとピストンは断熱材でできており、気体と外部とのあいだで熱の出入りはない。ピストンを押して気体をゆっくり圧縮したところ、外部が気体に の仕事をした。気体定数を とする。このとき、気体の温度は何 K 上昇したか。有効数字 2 桁で求めよ。
押す気体 ピストンシリンダーとピストンは断熱材でできている 断熱材でできたシリンダーに、なめらかに動く断熱材のピストンで の単原子分子理想気体を閉じこめた。ピストンをゆっくり押し込んで気体を圧縮したところ、外部が気体に の仕事をした。この間、気体と外部とのあいだで熱の出入りはなかった（断熱変化）。気体定数を とする。気体の温度は何 K 上昇したか。
押す気体 ピストンシリンダーとピストンは断熱材でできている 物質量が一定の単原子分子理想気体を、- 図上で状態 （圧力 、体積 ）から状態 （圧力 、体積 ）まで、2 点を結ぶ線分に沿ってゆっくり変化させる。ただし , とする。この過程の途中で、気体は熱を吸収していたが、ある体積から先は熱を放出するようになる。 から、熱の吸収が放出に切りかわる状態までに気体が吸収した熱量を、, を用いて表せ。
AB物質量が一定の単原子分子理想気体があります。この気体の状態を、圧力 ・体積 の状態 から、圧力 ・体積 の状態 まで、- 図で と を結ぶ線分に沿ってゆっくり変化させます。ここで , は定数です。
この過程の途中で、気体は熱を吸収する状態から熱を放出する状態に切りかわります。 から切りかわる点までのあいだに気体が吸収した熱量を、, を用いて表してください。ただし、単原子分子理想気体の内部エネルギーは で表されるものとします。
AB一定量の単原子分子理想気体を、- 図上で次のように状態 の順にゆっくり変化させるサイクルを考える。
- 状態 : 圧力 、体積
- : 体積を に保ったまま、圧力を にする（定積変化）
- : 圧力を に保ったまま、体積を にする（定圧変化）
- : 体積を に保ったまま、圧力を にする（定積変化）
- : 圧力を に保ったまま、体積を にもどす（定圧変化）
単原子分子理想気体の定積モル比熱を 、定圧モル比熱を （ は気体定数）とする。このサイクルを熱機関とみなしたときの熱効率 を、分数で求めよ。
なめらかに動くピストンのついた容器に、物質量が一定の単原子分子理想気体が入っている。この気体の状態を、次の 4 つの過程で のように 1 周変化させた。
- ：体積 のまま、圧力を から にする（定積変化）
- ：圧力 のまま、体積を から にする（定圧変化）
- ：体積 のまま、圧力を から にする（定積変化）
- ：圧力 のまま、体積を から にする（定圧変化）
単原子分子理想気体の内部エネルギーは で表されるものとする。このサイクルを熱機関とみなしたとき、熱効率 を分数で求めよ。
質量 の金属のかたまりに熱量 を与えたところ、金属の温度が から に上がった。与えた熱はすべて金属の温度上昇に使われ、周りには逃げないものとする。また、金属の比熱は温度によらず一定とする。この金属の比熱は何 か。有効数字 2 桁で求めよ。
金属熱量 を与える金属のかたまり 先を閉じた注射器（シリンダー）に、一定量の空気をピストンで閉じこめた。はじめ、空気の圧力は 、体積は 、温度は であった。ピストンを押しながら空気をあたためたところ、空気の圧力は 、体積は になった。このときの空気の温度は何 か。有効数字 3 桁で求めよ。ただし、空気は理想気体とみなし、もれ出たり入ったりしないものとする。セルシウス温度 と絶対温度 の関係は とする。
空気ピストンはじめの状態（図は正確とは限りません） 断熱容器に温度 の水 が入っている。ここに温度 の湯を加えてよくかき混ぜ、全体の温度を にしたい。加える湯の質量は何 か。ただし、水（湯）の比熱を とし、容器の熱容量は無視できるものとする。また、熱は容器の外に逃げず、水の蒸発も無視する。
の水 の湯を加える断熱容器（容器の熱容量は無視する） なめらかに動くピストンのついたシリンダーに、理想気体 が閉じこめられている。気体の温度は 、圧力は である。気体定数を とし、絶対温度 とセルシウス温度 の関係を とする。このとき、気体の体積は何 か。有効数字 2 桁で求めよ。
ピストン気体の圧力は 断熱容器に、温度 の水 が入っている。ここに温度 の氷 を入れ、よくかき混ぜたところ、やがて全体が熱平衡に達した。熱平衡に達したとき、とけずに残っている氷は何 g か。
ただし、水の比熱を 、氷の融解熱を とする。容器の熱容量は無視でき、容器の外との熱のやりとりはないものとする。
氷 水 ,断熱容器（入れた直後の様子） 容器にヘリウムが入っており、その温度は である。ヘリウムは単原子分子の理想気体とみなす。ヘリウム分子 1 個の質量を 、ボルツマン定数を とし、絶対温度 とセルシウス温度 の関係を とする。分子の平均運動エネルギーと絶対温度の関係
を用いて、ヘリウム分子の 2 乗平均速度 は何 か。有効数字 2 桁で求めよ。なめらかに動くピストンのついたシリンダーに、一定量の理想気体が閉じこめられている。この気体の状態を、状態 （圧力 、体積 ）から状態 （圧力 、体積 ）へ、ゆっくりと変化させた。この変化のあいだ、- 図（横軸に体積 、縦軸に圧力 をとったグラフ）の上で、気体の状態は と を結ぶ線分にそって変化した。 の変化のあいだに気体が外部にした仕事は何 J か。有効数字 2 桁で求めよ。
容積が変わらない密閉容器に、物質量 の単原子分子理想気体が入っている。この気体をゆっくり加熱したところ、温度が から に上がった。この間の気体の内部エネルギーの変化 は何 J か。気体定数を とし、有効数字 2 桁で求めよ。
単原子分子理想気体容積が一定の密閉容器 なめらかな円筒形のシリンダーが、軸を水平にして置かれている。シリンダーの軸にそって右向きに 軸をとる。シリンダーの左端は固定された底面で、右側はピストンでふさがれている。底面からピストンまでの距離は である。中には質量 の単原子分子 個からなる気体が入っていて、その絶対温度は である。ボルツマン定数を とし、分子 1 個の運動エネルギーの平均は と表されるものとする（ は分子の速さの 2 乗の平均）。
いま、ピストンを一定の速さ で左向き（気体を圧縮する向き）にゆっくり押し込んでいる。 は分子の速さに比べて十分小さく、 を含む項は無視してよい。ピストンは十分重く、分子と衝突してもピストンの速さは のまま変わらない。分子は底面・ピストン・シリンダーの側面と弾性衝突し、分子どうしは衝突しないものとする。また、考える時間のあいだの と の変化は無視できるものとする。
このとき、ピストンとの衝突によって、 個の分子の運動エネルギーの和は単位時間あたりいくら増加するか。, , , , を用いて表せ。
ピストンを速さ で左向きに押し込む なめらかに動くピストンのついたシリンダーに、一定量の理想気体が閉じこめられている。ピストンを外から押して気体を圧縮したところ、外部（ピストンを押す側）が気体にした仕事は であった。また、この間に気体の内部エネルギーは 増加した。
この間に気体が吸収した熱量を とする。ただし、気体が熱を放出したときは を負の値で表す。 は何 か。
押す気体ピストン体積が変わらない密閉容器に、単原子分子の理想気体 が入っている。容器の中のヒーターで気体に熱量 をゆっくり与えた。与えた熱はすべて気体が吸収し、容器やヒーターの熱容量、外部への熱の出入りは無視できるものとする。気体定数を とするとき、気体の温度は何 K 上昇したか。有効数字 2 桁で求めよ。
気体 ヒーター体積が変わらない密閉容器 断熱材でできたシリンダーに、なめらかに動く断熱材のピストンで物質量 の単原子分子理想気体を閉じこめた。気体と外部とのあいだで熱の出入りはないものとする。ピストンをゆっくり引いて気体を膨張させたところ、気体は外部に の仕事をした。気体定数を とする。この膨張で、気体の温度は何 K 下がったか。有効数字 2 桁で求めよ。
気体 ゆっくり引くシリンダーとピストンは断熱材でできている 物質量が一定の単原子分子理想気体がある。この気体の状態を、- 図（縦軸に圧力 、横軸に体積 をとった図）上で、圧力 ・体積 の状態 から、圧力 ・体積 の状態 まで、2 点を結ぶ線分に沿ってゆっくり変化させた。この過程の途中で、気体ははじめ熱を吸収し、ある体積をこえると熱を放出するようになる。状態 から、熱の吸収が放出に切りかわるまでに気体が吸収した熱量を、, を用いて表せ。ただし、単原子分子理想気体の内部エネルギーは で表されるものとする。
なめらかに動くピストンのついたシリンダーに、一定量の単原子分子理想気体が閉じこめられている。この気体の状態を、次の 4 つの過程からなるサイクル のようにゆっくり変化させる。
- 状態 : 圧力 、体積
- : 体積を一定に保ったまま、圧力を まで上げる（定積変化）
- : 圧力を一定に保ったまま、体積を まで増やす（定圧変化）
- : 体積を一定に保ったまま、圧力を まで下げる（定積変化）
- : 圧力を一定に保ったまま、体積を まで減らし、状態 にもどす（定圧変化）
単原子分子理想気体の内部エネルギーは、圧力 、体積 を用いて と表される。このサイクルを熱機関とみなしたときの熱効率を、有効数字 2 桁で求めよ。
鉛直に立てたシリンダーに、なめらかに動くピストンで物質量 の単原子分子理想気体を閉じこめた。ピストンの上側は大気に接しており、気体の圧力はつねに一定に保たれる。この気体を内部のヒーターでゆっくり加熱したところ、気体の絶対温度が 上昇した。
気体定数を とし、単原子分子理想気体の内部エネルギーは物質量 、絶対温度 を用いて と表されるものとする。シリンダーとピストンは熱を通さず、ヒーターの熱容量は無視する。
この間に気体が吸収した熱量は何 か。有効数字 2 桁で答えよ。
気体 大気ピストンヒーター熱容量 の容器に の水 を入れ、容器と水の温度が等しくなったところで、 に熱した質量 の金属球を静かに入れた。よくかき混ぜたところ、全体の温度は で一定になった。
水の比熱を とし、熱は容器・水・金属球のあいだだけでやりとりされ、外部との熱の出入りや水の蒸発はないものとする。
この金属の比熱は何 か。有効数字 2 桁で答えよ。
金属球 水 容器一辺の長さが の立方体の容器に、アルゴン分子が 個入っている。アルゴン分子 1 個の質量は で、容器内の気体の圧力は である。気体は理想気体とみなし、分子どうしの衝突は無視し、分子は容器の壁と弾性衝突をするものとする。また、分子は特定の向きにかたよらず乱雑に運動しているものとする。
このとき、分子の速さの 2 乗の平均値を として、（2 乗平均速度）は何 m/s か。有効数字 2 桁で求めよ。
分子は乱雑な向きに運動している（図は一例） 水平に置いたシリンダーに、なめらかに動く軽いピストンで単原子分子理想気体が閉じこめられている。シリンダーの外は大気で、大気圧は で一定である。シリンダー内の気体に、ヒーターでゆっくりと の熱を与えたところ、ピストンは外向きにゆっくり動いた。この間、気体の圧力はつねに大気圧に等しかったものとする。シリンダーとピストンを通しての熱の出入りはなく、ヒーターの体積は無視できる。
単原子分子理想気体の内部エネルギーは、物質量を 、気体定数を 、絶対温度を として で表される。熱を与える前後で、気体の体積は何 増加したか。有効数字 2 桁で求めよ。
気体ヒーターピストンが動く向き大気ピストンは軽く、なめらかに動く 容積 の容器 と容積 の容器 が、コックのついた細い管でつながれている。はじめコックは閉じていて、容器 には圧力 、容器 には圧力 の同じ種類の理想気体が入っており、どちらの温度も である。
コックを開いて十分に時間がたってから、容器 , 全体の温度をゆっくりと にした。このときの気体の圧力は何 Pa か。有効数字 2 桁で求めよ。
ただし、容器の容積は温度によって変わらず、管の容積は無視できるものとする。また、絶対温度 とセルシウス温度 の関係は とする。
コックコックを開く前のようす 断熱容器に の水 が入っている。沸騰した湯の中で に温めた質量 の金属球を取り出し、すぐにこの水の中に入れた。よくかき混ぜて十分に時間がたつと、水と金属球の温度はどちらも になった。
水の比熱を とする。容器の熱容量と、外部との熱の出入りは無視でき、金属球を移すときに温度は下がらず、金属球に付いた湯の量も無視できるものとする。この金属の比熱は何 か。有効数字 2 桁で求めよ。
金属球 水 断熱容器金属球を水に入れたところ 断熱材でできたシリンダーとピストンに、物質量 の単原子分子理想気体が閉じこめられている。ピストンを押して気体をすばやく圧縮したところ、ピストンが気体にした仕事は であった。
気体と外部との熱の出入りはないものとし、気体定数を とする。また、物質量 の単原子分子理想気体の内部エネルギーは、絶対温度を として （ は気体定数）で表される。この圧縮によって、気体の温度は何 K 上昇したか。有効数字 2 桁で求めよ。
押す気体シリンダーとピストンは断熱材でできている ある熱機関は、高温の熱源から熱を吸収し、その一部を仕事に変え、残りを低温の熱源に放出する運転を一定の割合で続けている。この熱機関の熱効率は で、外部に仕事をする割合（仕事率）は である。
この熱機関が低温の熱源に放出する熱量は、1 秒あたり何 J か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、熱効率は「1 秒あたりに外部にする仕事」を「1 秒あたりに高温の熱源から吸収する熱量」で割ったものであり、熱機関の内部エネルギーは運転中に変化しないものとする。
高温の熱源熱機関低温の熱源吸収する熱放出する熱仕事（）熱機関でのエネルギーの流れ なめらかに動くピストンのついたシリンダーに、物質量 の単原子分子理想気体が閉じこめられている。この気体の状態を、次の 4 つの過程からなるサイクル で変化させる。圧力 、体積 は正の定数とする。
- ：体積を に保ったまま、圧力を から にする。
- ：圧力を に保ったまま、体積を から にする。
- ：体積を に保ったまま、圧力を から にする。
- ：圧力を に保ったまま、体積を から にする。
単原子分子理想気体の定積モル比熱は 、定圧モル比熱は （ は気体定数）とする。このサイクルを熱機関とみなしたとき、熱効率 （1 サイクルで気体が外部にした正味の仕事を、1 サイクルで気体が吸収した熱量の和で割ったもの）を分数で求めよ。
容積 の容器 と容積 の容器 が、コックのついた細い管でつながれている。はじめコックは閉じており、 には圧力 、 には圧力 の同じ種類の理想気体が入っていて、どちらの温度も であった。
コックを開いて十分に時間がたった後、コックを開いたまま、、 全体の温度を にした。
このときの容器内の気体の圧力は何 か。有効数字 2 桁で答えよ。ただし、管の容積と容器の容積の温度による変化は無視し、気体はもれないものとする。
コック半径 の球形の容器の中に、質量 の単原子分子が 個入っている。分子はどれも同じ速さ で運動し、容器の内壁と弾性衝突をくり返す。分子どうしの衝突と重力は無視する。
ある 1 個の分子に注目すると、この分子は壁に衝突するたびに、衝突点と球の中心を結ぶ直線に対して入射角と同じ角度ではね返る。そのため、この分子が壁に衝突するときの、速度と「衝突点と中心を結ぶ直線」とのなす角は、つねに同じ値 （）である。 の値は分子ごとに異なってよい。
個の分子が容器の内壁に及ぼす力の時間平均が内壁の全面に一様にはたらくものとして、容器内の気体の圧力 を、, , , を用いて表せ。
分子1 個の分子の運動のようす（ の一例） 両端を閉じた、断面積が一様な長さ の円筒が水平に固定されている。円筒の中は、なめらかに動く薄いピストンで左の部屋 と右の部屋 に仕切られ、A と B には同じ種類の理想気体が閉じこめられている。はじめ、ピストンは円筒の中央に静止しており、A, B の気体の温度はどちらも 、圧力はどちらも等しかった。
次に、B の気体の温度を に保ったまま、A の気体だけをゆっくり加熱して にしたところ、ピストンは右へ移動して静止した。ピストンが移動した距離は何 cm か。有効数字 2 桁で求めよ。
ただし、ピストンの厚さは無視でき、ピストンを通して気体が行き来することはないものとする。絶対温度 とセルシウス温度 の関係は とする。
ピストンはじめの状態（ピストンは中央） ある固体の物質 を断熱容器に入れ、一定の電力で発熱するヒーターで加熱した。加熱を始めた時刻を として温度を測定したところ、次のようになった。
- 時刻 から までは、物質は固体のまま温度が から まで一定の割合で上昇した。
- 時刻 から までは、温度は のまま変わらず、この間に固体がとけて、時刻 にちょうどすべて液体になった。
この物質の固体の比熱を とする。ヒーターで発生した熱はすべて物質に与えられ、容器やヒーターの熱容量と、外部との熱の出入りは無視できるものとする。この物質の融解熱は何 J/g か。有効数字 2 桁で求めよ。
時刻 [s]温度 [℃]温度と時刻の関係（縦軸と横軸の縮尺は異なる） 断面積 の円筒形のシリンダーを水平に置き、左端を閉じた底とし、右側をなめらかに動くピストンでふさぐ。シリンダーの中には、質量 の単原子分子 個からなる理想気体が入っている。シリンダーの軸に沿って右向きに 軸をとる。
いま、ピストンを右向きに一定の速さ でゆっくり引き出している。ある瞬間の底からピストンまでの距離を とし、この瞬間の気体の絶対温度を とする。次の仮定をおく。
- 分子は壁やピストンと弾性衝突し、分子どうしは衝突しない。重力は無視する
- ピストンと衝突するとき、ピストンに対する分子の相対速度の 成分は、向きが逆になり大きさは変わらない
- は分子の速度の 成分の大きさに比べて十分小さく、 の 2 乗を含む項は無視できる。また、考える短い時間のあいだ は一定とみなしてよい
- 分子の運動はどの向きにもかたよりがなく、分子 1 個あたりの運動エネルギーの平均は （ はボルツマン定数）である
ピストンとの衝突によって、気体分子の運動エネルギーの総和は単位時間あたりにいくら減少するか。、、、、 を用いて表せ。
個の分子ピストン物質量 の単原子分子理想気体を作業物質とする熱機関がある。気体の圧力を 、体積を として、気体の状態を次の 3 つの過程からなるサイクル でゆっくり変化させる。、 は正の定数である。
- : 体積を に保ったまま、圧力を から にする
- : - 図上で、点 と点 を結ぶ線分に沿って変化させる
- : 圧力を に保ったまま、体積を から にする
単原子分子理想気体の内部エネルギーは と表される。このサイクルの熱効率（1 サイクルで気体が外部にした正味の仕事を、1 サイクルで気体が吸収した熱量の合計で割ったもの）を求めよ。ただし、「吸収した熱量の合計」には、1 つの過程の途中で吸収から放出に切りかわる場合、吸収している部分だけを数える。
かくはん棒のついた容器（熱量計）を使って、次の実験を行った。容器とかくはん棒をあわせた熱容量 は、はじめはわかっていない。
実験 1: 容器に の水 を入れ、容器も にした。水の中に入れた電熱線に、消費電力 で 間電流を流したところ、よくかき混ぜた水と容器の温度は になった。
実験 2: 実験 1 に続けて電熱線で加熱し、水と容器の温度を にしてから電熱線を取り出した。次に、 の氷 を水の中に入れ、よくかき混ぜて十分に時間がたつと、全体は熱平衡の状態になった。
水の比熱を 、氷の比熱を 、氷の融解熱を とする。電熱線で発生した熱はすべて水と容器に与えられ、電熱線の熱容量は無視できる。容器と外部との熱の出入りはなく、水の蒸発も無視できる。
実験 2 で熱平衡になったとき、容器の中に残っている氷の質量は何 g か。有効数字 2 桁で求めよ。
氷温度計かくはん棒水実験 2 で氷を入れたところ なめらかに動くピストンのついたシリンダーに、一定量の単原子分子理想気体が閉じこめられている。気体の状態を、圧力 と体積 を用いて、次の 3 つの過程からなるサイクル でゆっくりと変化させる。ただし、, は正の定数である。
- 状態 : 圧力 、体積
- 状態 : 圧力 、体積
- 状態 : 圧力 、体積
- 過程 : - 図（横軸 、縦軸 ）上で、 と を結ぶ線分にそって変化する
- 過程 : 圧力を に保ったまま変化する（定圧変化）
- 過程 : 体積を に保ったまま変化する（定積変化）
このサイクルを熱機関とみなし、1 サイクルの間に気体が外部にした正味の仕事を 、1 サイクルの間に気体が外部から吸収した熱量の合計（熱を吸収している部分だけの和で、放出した熱量は差し引かない）を とする。熱効率 を求めよ。
なお、物質量 の単原子分子理想気体の内部エネルギーは、気体定数を 、絶対温度を として である。
なめらかに動くピストンのついたシリンダーに、一定量の単原子分子理想気体が閉じこめられている。この気体を熱機関の作業物質として、次の 3 つの過程からなるサイクル をゆっくりと行わせる。ただし、, は正の定数である。
- 状態 の圧力は 、体積は である。
- 過程 : 体積を に保ったまま加熱する（定積変化）。
- 過程 : 外部との熱の出入りがない状態で膨張させる（断熱変化）。状態 の圧力は 、体積は である。
- 過程 : 圧力を に保ったまま圧縮して、状態 にもどす（定圧変化）。
単原子分子理想気体が断熱変化をするとき、圧力 と体積 の間には の関係が成り立つ。また、物質量 の単原子分子理想気体の内部エネルギーは、気体定数を 、絶対温度を として である。
1 サイクルの間に気体が外部にした正味の仕事を 、1 サイクルの間に気体が外部から吸収した熱量の合計を とするとき、この熱機関の熱効率 を求めよ。
断熱変化縦軸の縮尺は正確ではない 断面積 の円筒形のシリンダーが、中心軸を水平な 軸に平行にして置かれている。シリンダーの左端は閉じており、右側はピストンでふさがれている。中には質量 の単原子分子が 個入っている。シリンダーの閉じた端からピストンまでの距離を とし、すべての分子の運動エネルギーの和を とする。分子の運動の向きにはかたよりがなく、分子どうしの衝突と重力は無視する。
いま、ピストンを 軸の正の向き（シリンダーの外向き）に一定の小さな速さ で動かす。分子とピストンの衝突は、ピストンとともに動く観測者から見て弾性衝突であり、ピストンの速さ は分子の速さに比べて十分小さいので、 を含む項は無視できる。また、考える短い時間の間は と分子の速さの分布の変化は無視でき、分子の運動の向きのかたよりのなさは保たれるものとする。シリンダーの閉じた端やほかの内壁は動かず、分子はそれらと弾性衝突をする。
このとき、分子がピストンに衝突することによって、 が単位時間あたりに減少する量を、, , を用いて表せ。
分子ピストンは外向きに速さ で動く 互いに反応しない 3 種類の液体 , , が、それぞれ決まった量ずつ用意されている。用意した量の液体全体の熱容量（その量の液体の温度を 上げるのに必要な熱量）はわかっていない。次の実験 1, 2 では、そのつど新しく同じ量の液体を用意して使う。
実験 1: の と の を混ぜ合わせたところ、全体の温度は になった。
実験 2: の と の を混ぜ合わせたところ、全体の温度は になった。
それでは、 の 、 の 、 の の 3 つを同時に混ぜ合わせると、熱平衡になったときの全体の温度は何 か。有効数字 2 桁で求めよ。
ただし、どの実験でも用いる液体の量はそれぞれ同じで、液体の熱容量は温度によらず一定とする。混ぜても液体の熱容量の和は変わらず、容器の熱容量、外部との熱の出入り、液体の蒸発は無視できるものとする。
3 つを同時に混ぜ合わせる前の液体
条件に合う問題はありません。