熱と気体の問題

断面積 $S$ のなめらかな円筒容器に、質量 $m$ の単原子分子 $N$ 個からなる気体が入っている。円筒の軸にそって $x$ 軸をとる。容器の左端は固定された底面で、右側はピストンでふさがれている。ある瞬間、底面からピストンまでの距離は $L$ である。ピストンは $x$ 軸の正の向き（気体が膨張する向き）に一定の小さな速さ $u$ で動いている。

分子どうしは衝突せず、各分子は底面ともピストンとも弾性衝突をくり返す。ピストンは分子に比べて十分に重く、衝突によってピストンの速さは変わらない。分子の速度の $x$ 成分の大きさ $v_x$ に比べて $u$ は十分に小さく、$u^2$ を含む項は無視してよい。また、分子が底面とピストンのあいだを 1 往復するあいだの $L$ の変化も無視してよい。重力は無視する。

このとき、容器内の気体の圧力を $p$ とする。気体分子全体の運動エネルギーが単位時間あたりに減少する量を、$p$, $S$, $u$ を用いて表せ。

なめらかな円筒形のシリンダーが、軸を水平にして置かれている。シリンダーの軸にそって右向きに $x$ 軸をとる。シリンダーの左端は固定された底面で、右側はピストンでふさがれている。底面からピストンまでの距離は $L$ である。中には質量 $m$ の単原子分子 $N$ 個からなる気体が入っていて、その絶対温度は $T$ である。ボルツマン定数を $k$ とし、分子 1 個の運動エネルギーの平均は $\frac{1}{2}m\overline{v^2}=\frac{3}{2}kT$ と表されるものとする（$\overline{v^2}$ は分子の速さの 2 乗の平均）。

いま、ピストンを一定の速さ $u$ で左向き（気体を圧縮する向き）にゆっくり押し込んでいる。$u$ は分子の速さに比べて十分小さく、$u^2$ を含む項は無視してよい。ピストンは十分重く、分子と衝突してもピストンの速さは $u$ のまま変わらない。分子は底面・ピストン・シリンダーの側面と弾性衝突し、分子どうしは衝突しないものとする。また、考える時間のあいだの $L$ と $T$ の変化は無視できるものとする。

このとき、ピストンとの衝突によって、$N$ 個の分子の運動エネルギーの和は単位時間あたりいくら増加するか。$N$, $k$, $T$, $L$, $u$ を用いて表せ。

断面積 $S$ の円筒形のシリンダーが、中心軸を水平な $x$ 軸に平行にして置かれている。シリンダーの左端は閉じており、右側はピストンでふさがれている。中には質量 $m$ の単原子分子が $N$ 個入っている。シリンダーの閉じた端からピストンまでの距離を $L$ とし、すべての分子の運動エネルギーの和を $K$ とする。分子の運動の向きにはかたよりがなく、分子どうしの衝突と重力は無視する。

いま、ピストンを $x$ 軸の正の向き（シリンダーの外向き）に一定の小さな速さ $u$ で動かす。分子とピストンの衝突は、ピストンとともに動く観測者から見て弾性衝突であり、ピストンの速さ $u$ は分子の速さに比べて十分小さいので、$u^2$ を含む項は無視できる。また、考える短い時間の間は $L$ と分子の速さの分布の変化は無視でき、分子の運動の向きのかたよりのなさは保たれるものとする。シリンダーの閉じた端やほかの内壁は動かず、分子はそれらと弾性衝突をする。

このとき、分子がピストンに衝突することによって、$K$ が単位時間あたりに減少する量を、$K$, $u$, $L$ を用いて表せ。

断面積 $S$ の円筒形のシリンダーを水平に置き、左端を閉じた底とし、右側をなめらかに動くピストンでふさぐ。シリンダーの中には、質量 $m$ の単原子分子 $N$ 個からなる理想気体が入っている。シリンダーの軸に沿って右向きに $x$ 軸をとる。

いま、ピストンを右向きに一定の速さ $u$ でゆっくり引き出している。ある瞬間の底からピストンまでの距離を $L$ とし、この瞬間の気体の絶対温度を $T$ とする。次の仮定をおく。

• 分子は壁やピストンと弾性衝突し、分子どうしは衝突しない。重力は無視する
• ピストンと衝突するとき、ピストンに対する分子の相対速度の $x$ 成分は、向きが逆になり大きさは変わらない
• $u$ は分子の速度の $x$ 成分の大きさに比べて十分小さく、$u$ の 2 乗を含む項は無視できる。また、考える短い時間のあいだ $L$ は一定とみなしてよい
• 分子の運動はどの向きにもかたよりがなく、分子 1 個あたりの運動エネルギーの平均は $\frac{3}{2}kT$（$k$ はボルツマン定数）である

ピストンとの衝突によって、気体分子の運動エネルギーの総和は単位時間あたりにいくら減少するか。$N$、$k$、$T$、$u$、$L$ を用いて表せ。

なめらかに動くピストンのついたシリンダーに、気体が閉じ込められている。この気体に外部から $800\mathrm{J}$ の熱量を与えたところ、気体は膨張してピストンを押し、外部に $300\mathrm{J}$ の仕事をした。この間の気体の内部エネルギーの変化 $\Delta U$ は何 J か。ただし、内部エネルギーが増加する場合を正とする。