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熱と気体の問題

難易度 1教科書の例題レベル高校物理熱と気体

断面積 $S$ のなめらかな円筒容器に、質量 $m$ の単原子分子 $N$ 個からなる気体が入っている。円筒の軸にそって $x$ 軸をとる。容器の左端は固定された底面で、右側はピストンでふさがれている。ある瞬間、底面からピストンまでの距離は $L$ である。ピストンは $x$ 軸の正の向き（気体が膨張する向き）に一定の小さな速さ $u$ で動いている。

分子どうしは衝突せず、各分子は底面ともピストンとも弾性衝突をくり返す。ピストンは分子に比べて十分に重く、衝突によってピストンの速さは変わらない。分子の速度の $x$ 成分の大きさ $v_{x}$ に比べて $u$ は十分に小さく、 $u^{2}$ を含む項は無視してよい。また、分子が底面とピストンのあいだを 1 往復するあいだの $L$ の変化も無視してよい。重力は無視する。

このとき、容器内の気体の圧力を $p$ とする。気体分子全体の運動エネルギーが単位時間あたりに減少する量を、 $p$ , $S$ , $u$ を用いて表せ。

u

v_{x}

L

ピストン

x

この問題で使うもの

動くピストンと分子運動論（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（50 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

技能「動くピストンと分子運動論」を使います。動くピストンとの衝突は、ピストンから見た相対速度で考えると、静止した壁との弾性衝突と同じになります。

ヒント 2

衝突前の相対速度は $v_{x} - u$ 、衝突後は $- (v_{x} - u)$ です。これから衝突後の分子の速さを求め、1 回の衝突での運動エネルギーの減少量と、単位時間あたりの衝突回数 $\frac{v _{x}}{2 L}$ を掛けます。

ヒント 3

衝突後の速さは $v_{x} - 2 u$ で、1 回の衝突での減少量は $u^{2}$ を無視して $2 m u v_{x}$ です。1 個の分子では単位時間に $\frac{m u v _{x}^{2}}{L}$ 減ります。これを $N$ 個分足し、 $p = \frac{N m v _{x}^{2}}{S L}$ を使って書きかえましょう。

答えと解説

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pS u

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解説を読む

1. ピストンとの 1 回の衝突で、分子の速さがどう変わるかを相対速度で調べる

速度の $x$ 成分が $v_{x} (> 0)$ の分子が、右へ速さ $u$ で動くピストンに当たるとする。ピストンから見た分子の相対速度は
$v_{x} - u$
である。ピストンは十分に重いので、ピストンから見ると、分子は静止した壁に弾性衝突したのと同じになる。よって衝突後の相対速度は向きだけが逆になり、 $- (v_{x} - u)$ となる。これに床から見たピストンの速度 $u$ を加えると、衝突後の分子の速度の $x$ 成分は
$u - (v_{x} - u) = - (v_{x} - 2 u)$
となる。つまり、分子は速さ $v_{x} - 2 u$ ではね返り、 $x$ 方向の速さが $2 u$ だけ小さくなる。 $y$ , $z$ 成分は変わらない。

2. 1 回の衝突での運動エネルギーの減少量
$\frac{1}{2} m v_{x}^{2} - \frac{1}{2} m (v_{x} - 2 u)^{2} = \frac{1}{2} m (4 u v_{x} - 4 u^{2}) = 2 m u v_{x} - 2 m u^{2}$
$u^{2}$ の項を無視すると、1 回の衝突で運動エネルギーは $2 m u v_{x}$ だけ減少する。

3. 単位時間あたりの衝突回数
分子は底面とピストンのあいだの距離 $2 L$ を速さ $v_{x}$ で 1 往復するごとにピストンに 1 回当たる（底面は固定されているので、底面との衝突では速さは変わらない）。1 往復にかかる時間は $\frac{2 L}{v _{x}}$ なので、単位時間あたりの衝突回数は $\frac{v _{x}}{2 L}$ である。

4. 1 個の分子の単位時間あたりの減少量
$2 m u v_{x} \times \frac{v _{x}}{2 L} = \frac{m u v _{x}^{2}}{L}$

5. $N$ 個の分子について足し合わせる
$v_{x}^{2}$ の平均を $v_{x}^{2}$ とすると、気体全体の運動エネルギーの単位時間あたりの減少量は
$\frac{N m v _{x}^{2} u}{L}$

6. 圧力 $p$ で表す
気体分子運動論より、ピストンが分子から受ける力の大きさは $\frac{N m v _{x}^{2}}{L}$ であり、圧力は
$p = \frac{N m v _{x}^{2}}{S L} すなわち \frac{N m v _{x}^{2}}{L} = pS$
これを代入すると、減少量は
$pS \times u = pS u$

ピストンは単位時間に $u$ だけ動き、気体はピストンを力 $pS$ で押しているので、気体が単位時間にする仕事は $pS u$ である。求めた運動エネルギーの減少量はこれと等しく、気体が外にした仕事の分だけ分子の運動エネルギー（内部エネルギー）が減ることが確かめられる。

答え: $pS u$

別解

ピストンが速さ $u$ で膨張する向きに動くとき、気体はピストンに仕事をする。ピストンが気体から受ける力の大きさは $pS$ で、向きは $x$ 軸の正の向き（ピストンの運動方向）である。そのため、気体がピストンにする仕事率は $pS \cdot u$ である。

分子との弾性衝突を考えて確かめる。速度の $x$ 成分が $v_{x}$ （ $v_{x} > 0$ ）の分子が、ピストンに衝突すると、ピストンの速度 $u$ に対する相対速度が $v_{x} - u$ で、衝突後の相対速度は $- (v_{x} - u)$ となる。したがって、衝突後の分子の速度は $u - (v_{x} - u) = - (v_{x} - 2 u)$ である。速さは $v_{x}$ から $v_{x} - 2 u$ に減り、 $x$ 成分の運動エネルギーの変化は
$Δ K = \frac{1}{2} m (v_{x} - 2 u)^{2} - \frac{1}{2} m v_{x}^{2} \approx - 2 m v_{x} u$
（ $u^{2}$ の項を無視した）。

1 つの分子が単位時間にピストンに衝突する回数は、往復時間が $2 L / v_{x}$ なので $\frac{v _{x}}{2 L}$ である。したがって 1 分子あたりの運動エネルギーの減少率は $2 m v_{x} u \cdot \frac{v _{x}}{2 L} = \frac{m v _{x}^{2} u}{L}$ となる。

全分子について足すと $\frac{m u}{L} \sum v_{x}^{2}$ である。一方、圧力は $p = \frac{1}{S L} \sum m v_{x}^{2}$ なので、 $\sum m v_{x}^{2} = pS L$ となる。よって
$\frac{u}{L} \cdot pS L = pS u$

これは仕事率 $pS u$ と一致する。したがって、単位時間あたりの運動エネルギーの減少量は $pS u$ である。

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