熱と気体の問題

難易度 1教科書の例題レベル高校物理熱と気体

なめらかな円筒形のシリンダーが、軸を水平にして置かれている。シリンダーの軸にそって右向きに $x$ 軸をとる。シリンダーの左端は固定された底面で、右側はピストンでふさがれている。底面からピストンまでの距離は $L$ である。中には質量 $m$ の単原子分子 $N$ 個からなる気体が入っていて、その絶対温度は $T$ である。ボルツマン定数を $k$ とし、分子 1 個の運動エネルギーの平均は $\frac{1}{2} m v^{2} = \frac{3}{2} k T$ と表されるものとする（ $v^{2}$ は分子の速さの 2 乗の平均）。

いま、ピストンを一定の速さ $u$ で左向き（気体を圧縮する向き）にゆっくり押し込んでいる。 $u$ は分子の速さに比べて十分小さく、 $u^{2}$ を含む項は無視してよい。ピストンは十分重く、分子と衝突してもピストンの速さは $u$ のまま変わらない。分子は底面・ピストン・シリンダーの側面と弾性衝突し、分子どうしは衝突しないものとする。また、考える時間のあいだの $L$ と $T$ の変化は無視できるものとする。

このとき、ピストンとの衝突によって、 $N$ 個の分子の運動エネルギーの和は単位時間あたりいくら増加するか。 $N$ , $k$ , $T$ , $L$ , $u$ を用いて表せ。

u

L

x

ピストンを速さ

u

で左向きに押し込む

この問題で使うもの

動くピストンと分子運動論（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（50 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

ピストンとともに動く立場から見た相対速度を使って、1 回の衝突の前後で分子の速さがどう変わるかを調べましょう。

ヒント 2

弾性衝突では、重いピストンに対する相対速度の向きが逆になり大きさは変わりません。衝突前の相対速度は $v_{x} + u$ です。また、1 個の分子が単位時間にピストンに衝突する回数は $\frac{v _{x}}{2 L}$ です。

ヒント 3

衝突後の速さは $v_{x} + 2 u$ となり、1 回の衝突で運動エネルギーは約 $2 m u v_{x}$ 増えます。分子 1 個では単位時間あたり $\frac{m u v _{x}^{2}}{L}$ 増えるので、これを $N$ 個について足し、 $v_{x}^{2} = \frac{1}{3} v^{2}$ と $m v^{2} = 3 k T$ を使いましょう。

答えと解説

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\frac{N k T u}{L}

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解説を読む

手順 1：1 回の衝突で分子の速さがどう変わるかを相対速度で調べる

ピストンに向かって進む分子の速度の $x$ 成分を $v_{x} (> 0)$ とする。ピストンの速度は $- u$ （左向き）である。

ピストンから見た分子の相対速度は
$v_{x} - (- u) = v_{x} + u$
ピストンは十分重く速度が変わらないので、弾性衝突ではピストンに対する相対速度の向きだけが逆になり、大きさは変わらない。衝突後の相対速度は $- (v_{x} + u)$ である。したがって、衝突後の分子の速度の $x$ 成分 $v_{x}^{'}$ は
$v_{x}^{'} = - u - (v_{x} + u) = - (v_{x} + 2 u)$
となり、分子の速さの $x$ 成分は $v_{x}$ から $v_{x} + 2 u$ に増える。

手順 2：1 回の衝突での運動エネルギーの増加

ピストンの面はなめらかで、ピストンが分子におよぼす力は $x$ 方向だけなので、速度の $y$ , $z$ 成分は変わらない。よって運動エネルギーの増加は
$\frac{1}{2} m (v_{x} + 2 u)^{2} - \frac{1}{2} m v_{x}^{2} = 2 m u v_{x} + 2 m u^{2} ≒ 2 m u v_{x}$
（ $u^{2}$ の項は無視した）。

手順 3：単位時間あたりの衝突回数

底面や側面との弾性衝突では $x$ 成分の速さは変わらないので、分子は底面とピストンの間（距離 $L$ ）を速さ $v_{x}$ で往復する。1 往復にかかる時間は $\frac{2 L}{v _{x}}$ だから、単位時間あたりにピストンに衝突する回数は $\frac{v _{x}}{2 L}$ である（ $u$ による往復時間の変化は、エネルギーの増加分と掛け合わせると $u^{2}$ 以上の項になるので無視する）。

よって、分子 1 個の運動エネルギーの単位時間あたりの増加は
$2 m u v_{x} \times \frac{v _{x}}{2 L} = \frac{m u v _{x}^{2}}{L}$

手順 4： $N$ 個の分子について合計する

$v_{x}^{2}$ の平均を $v_{x}^{2}$ とすると、分子の運動はどの向きにもかたよらないので $v_{x}^{2} = \frac{1}{3} v^{2}$ 。合計は
$\frac{m u}{L} \times N v_{x}^{2} = \frac{N m v ^{2} u}{3 L}$
ここで $\frac{1}{2} m v^{2} = \frac{3}{2} k T$ より $m v^{2} = 3 k T$ だから
$\frac{N \cdot 3 k T \cdot u}{3 L} = \frac{N k T u}{L}$

確かめ： $pS u$ に等しいこと

シリンダーの断面積を $S$ 、気体の圧力を $p$ とすると、分子運動論より $p V = \frac{1}{3} N m v^{2} = N k T$ 、 $V = S L$ なので $p = \frac{N k T}{S L}$ 。よって
$pS u = \frac{N k T}{S L} \cdot S \cdot u = \frac{N k T u}{L}$
となり、求めた量は、ピストンが気体を押す力 $pS$ と速さ $u$ の積、すなわちピストンが気体にする単位時間あたりの仕事に等しい。気体は圧縮されて仕事をされ、その分だけ分子の運動エネルギーが増えることが確かめられた。

答え： $\frac{N k T u}{L}$

別解

ピストンは左向きに速さ $u$ で動く。右向きに速さ $v_{x}$ でピストンに向かう分子を考える。

1. 衝突によるエネルギー変化：ピストンの速さは変わらず、衝突は弾性衝突である。ピストンから見ると分子の相対速度は $v_{x} + u$ で、衝突後は反対向きに同じ大きさになる。よって衝突後の分子の速度は左向きに $v_{x} + 2 u$ である。運動エネルギーの変化は
$Δ E = \frac{1}{2} m {(v_{x} + 2 u)^{2} - v_{x}^{2}} = 2 m u v_{x} + 2 m u^{2} \approx 2 m u v_{x}$
（ $u^{2}$ の項は無視）。

2. 衝突の頻度： $L$ と $v_{x}$ の変化は無視できるので、この分子は往復距離 $2 L$ を時間 $2 L / v_{x}$ で往復する。単位時間あたりの衝突回数は $v_{x} / (2 L)$ である。

3. 1 個の分子による単位時間あたりの増加： $2 m u v_{x} \cdot \frac{v _{x}}{2 L} = \frac{m u v _{x}^{2}}{L}$ 。

4. $N$ 個の分子で足し合わせる： $\sum \frac{m u v _{x}^{2}}{L} = \frac{N m u v _{x}^{2}}{L}$ 。分子の運動は等方的なので $v_{x}^{2} = \frac{1}{3} v^{2}$ である。 $\frac{1}{2} m v^{2} = \frac{3}{2} k T$ より $m v_{x}^{2} = k T$ となる。

したがって単位時間あたりの増加量は $\frac{N k T u}{L}$ である。

検算：気体の圧力は $P = N k T / V$ で、ピストンの断面積を $S$ とすると力は $P S = N k T / L$ である。この力がする仕事率は $F u = N k T u / L$ となり、上の結果と一致する。

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