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熱と気体の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル高校物理熱と気体

断面積 $S$ の円筒形のシリンダーを水平に置き、左端を閉じた底とし、右側をなめらかに動くピストンでふさぐ。シリンダーの中には、質量 $m$ の単原子分子 $N$ 個からなる理想気体が入っている。シリンダーの軸に沿って右向きに $x$ 軸をとる。

いま、ピストンを右向きに一定の速さ $u$ でゆっくり引き出している。ある瞬間の底からピストンまでの距離を $L$ とし、この瞬間の気体の絶対温度を $T$ とする。次の仮定をおく。

分子は壁やピストンと弾性衝突し、分子どうしは衝突しない。重力は無視する
ピストンと衝突するとき、ピストンに対する分子の相対速度の $x$ 成分は、向きが逆になり大きさは変わらない
$u$ は分子の速度の $x$ 成分の大きさに比べて十分小さく、 $u$ の 2 乗を含む項は無視できる。また、考える短い時間のあいだ $L$ は一定とみなしてよい
分子の運動はどの向きにもかたよりがなく、分子 1 個あたりの運動エネルギーの平均は $\frac{3}{2} k T$ （ $k$ はボルツマン定数）である

ピストンとの衝突によって、気体分子の運動エネルギーの総和は単位時間あたりにいくら減少するか。 $N$ 、 $k$ 、 $T$ 、 $u$ 、 $L$ を用いて表せ。

u

N

個の分子ピストン

L

x

この問題で使うもの

動くピストンと分子運動論（説明と入口の問題）
気体分子運動論（説明と入口の問題）

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ヒント

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ヒント 1

まず 1 個の分子について、ピストンと 1 回衝突したときの速度の変化を考えよう。ピストンから見た相対速度が反転することを使う。

ヒント 2

1 回の衝突で運動エネルギーは $2 m u v_{x}$ だけ減る（ $u^{2}$ の項は無視）。単位時間あたりにピストンと衝突する回数は $\frac{v _{x}}{2 L}$ である。

ヒント 3

1 個の分子の単位時間あたりの減少量は $\frac{m u v _{x}^{2}}{L}$ となる。 $N$ 個の分子で合計し、 $v_{x}^{2} = \frac{1}{3} v^{2}$ と $\frac{1}{2} m v^{2} = \frac{3}{2} k T$ を使う。

答えと解説

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\frac{N k T u}{L}

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解説を読む

1 回の衝突による運動エネルギーの変化

速度はすべて、静止しているシリンダー（底）に対するものとする。ある分子の速度の $x$ 成分を $v_{x}$ （ $v_{x} > 0$ 、ピストンに向かう向き）とする。ピストンは速度 $u$ で動いているので、ピストンに対する分子の相対速度の $x$ 成分は $v_{x} - u$ である。衝突でこれが逆向きになるので、衝突後の相対速度の $x$ 成分は $- (v_{x} - u)$ であり、シリンダーに対する速度の $x$ 成分は
$- (v_{x} - u) + u = - (v_{x} - 2 u)$
となる。 $y$ 、 $z$ 成分は変わらないので、運動エネルギーの変化は
$\frac{1}{2} m (v_{x} - 2 u)^{2} - \frac{1}{2} m v_{x}^{2} = - 2 m u v_{x} + 2 m u^{2} \approx - 2 m u v_{x}$
（ $u^{2}$ の項は無視する）。つまり 1 回の衝突で運動エネルギーは $2 m u v_{x}$ だけ減る。

単位時間あたりの衝突回数

分子は底とピストンのあいだを往復し、底との衝突では $x$ 成分の大きさは変わらない。 $u$ は $v_{x}$ に比べて十分小さく $L$ も一定とみなせるので、往復にかかる時間は $\frac{2 L}{v _{x}}$ であり、単位時間あたりにピストンと衝突する回数は $\frac{v _{x}}{2 L}$ である。

よって、この分子の運動エネルギーの単位時間あたりの減少量は
$2 m u v_{x} \times \frac{v _{x}}{2 L} = \frac{m u v _{x}^{2}}{L}$

$N$ 個の分子について合計する

分子 $N$ 個についての $v_{x}^{2}$ の平均を $v_{x}^{2}$ 、速さの 2 乗の平均を $v^{2}$ とすると、合計の減少量は
$\frac{m u}{L} \times N v_{x}^{2}$
運動の向きにかたよりがないので $v_{x}^{2} = v_{y}^{2} = v_{z}^{2}$ 、 $v^{2} = v_{x}^{2} + v_{y}^{2} + v_{z}^{2}$ より $v_{x}^{2} = \frac{1}{3} v^{2}$ 。さらに $\frac{1}{2} m v^{2} = \frac{3}{2} k T$ より $m v^{2} = 3 k T$ なので
$m v_{x}^{2} = \frac{1}{3} m v^{2} = k T$
したがって、単位時間あたりの減少量は
$\frac{N u}{L} \times m v_{x}^{2} = \frac{N k T u}{L}$

（参考：気体の圧力は $p = \frac{N k T}{S L}$ なので、この量は $pS u$ 、すなわち気体がピストンにする仕事の仕事率に等しい。）

別解

ピストンに向かう分子の速度の $x$ 成分を $v_{x} > 0$ とする。ピストンに対する相対速度の $x$ 成分は $v_{x} - u$ で、衝突後は向きが逆になるので、衝突後の速度の $x$ 成分は $- (v_{x} - u) + u = - v_{x} + 2 u$ 。1 回の衝突での運動エネルギーの変化は $\frac{1}{2} m (v_{x} - 2 u)^{2} - \frac{1}{2} m v_{x}^{2} = - 2 m v_{x} u + 2 m u^{2} \approx - 2 m v_{x} u$ 。 $L$ を一定とみなすと、この分子が底とピストンの間を往復する時間は $\frac{2 L}{v _{x}}$ なので、単位時間あたりの衝突回数は $\frac{v _{x}}{2 L}$ 。したがって 1 個の分子の運動エネルギーの減少率は $2 m v_{x} u \cdot \frac{v _{x}}{2 L} = \frac{m u v _{x}^{2}}{L}$ 。全分子で和をとり、向きにかたよりがないことから $v_{x}^{2} = \frac{1}{3} v^{2}$ 、 $\frac{1}{2} m v_{x}^{2} = \frac{1}{2} k T$ なので $m v_{x}^{2} = k T$ 。よって総和の減少率は $N \cdot \frac{u}{L} \cdot k T = \frac{N k T u}{L}$ 。検算: 全運動エネルギーは $K = \frac{3}{2} N k T$ で、 $\frac{2 K u}{3 L} = \frac{2}{3 L} \cdot \frac{3}{2} N k T \cdot u = \frac{N k T u}{L}$ となり、断熱膨張の関係 $K \propto L^{- 2/3}$ から得られる減少率とも一致する。

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