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熱と気体の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル高校物理熱と気体

なめらかに動くピストンのついたシリンダーに、一定量の単原子分子理想気体が閉じこめられている。この気体を熱機関の作業物質として、次の 3 つの過程からなるサイクル $A \to B \to C \to A$ をゆっくりと行わせる。ただし、 $p_{0}$ , $V_{0}$ は正の定数である。

状態 $A$ の圧力は $p_{0}$ 、体積は $V_{0}$ である。
過程 $A \to B$ : 体積を $V_{0}$ に保ったまま加熱する（定積変化）。
過程 $B \to C$ : 外部との熱の出入りがない状態で膨張させる（断熱変化）。状態 $C$ の圧力は $p_{0}$ 、体積は $8 V_{0}$ である。
過程 $C \to A$ : 圧力を $p_{0}$ に保ったまま圧縮して、状態 $A$ にもどす（定圧変化）。

単原子分子理想気体が断熱変化をするとき、圧力 $p$ と体積 $V$ の間には $p V^{\frac{5}{3}} = 一定$ の関係が成り立つ。また、物質量 $n$ の単原子分子理想気体の内部エネルギーは、気体定数を $R$ 、絶対温度を $T$ として $\frac{3}{2} n R T$ である。

1 サイクルの間に気体が外部にした正味の仕事を $W$ 、1 サイクルの間に気体が外部から吸収した熱量の合計を $Q_{in}$ とするとき、この熱機関の熱効率 $e = \frac{W}{Q _{in}}$ を求めよ。

A

B

C

V

p

O

V_{0}

8 V_{0}

p_{0}

断熱変化

縦軸の縮尺は正確ではない

この問題で使うもの

熱機関のサイクルと熱効率（説明と入口の問題）
理想気体の内部エネルギー（説明と入口の問題）
熱力学第一法則（説明と入口の問題）
気体がする仕事と p-V 図（説明と入口の問題）
等温変化と断熱変化（説明と入口の問題）

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ヒント

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ヒント 1

まず断熱変化の関係 $p V^{\frac{5}{3}} = 一定$ を使って状態 B の圧力を求めよう。そのあと、各過程で熱力学第一法則を使い、どの過程で熱を吸収するかを調べる。

ヒント 2

$8^{\frac{5}{3}} = 32$ なので $p_{B} = 32 p_{0}$ 。内部エネルギーは $U = \frac{3}{2} p V$ で表せる。熱を吸収するのは A→B だけで、B→C は熱の出入りがなく、C→A は熱を放出する。

ヒント 3

$Q_{in} = \frac{3}{2} (32 - 1) p_{0} V_{0}$ 。C→A で放出する熱量は $\frac{3}{2} \cdot 7 p_{0} V_{0} + 7 p_{0} V_{0}$ である。正味の仕事は吸収した熱量と放出した熱量の差。

答えと解説

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\frac{58}{93}

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解説を読む

物質量を $n$ とすると、状態方程式 $p V = n R T$ より内部エネルギーは $U = \frac{3}{2} n R T = \frac{3}{2} p V$ と表せる。各過程で熱力学第一法則 $Q = Δ U + W$ （ $Q$ : 吸収した熱量、 $W$ : 気体が外にした仕事）を使う。

状態 B の圧力

状態 B の圧力を $p_{B}$ とする。B→C は断熱変化なので $p_{B} V_{0}^{\frac{5}{3}} = p_{0} (8 V_{0})^{\frac{5}{3}}$ が成り立つ。 $8^{\frac{5}{3}} = (2^{3})^{\frac{5}{3}} = 2^{5} = 32$ より
$p_{B} = 32 p_{0}$

過程 A→B（定積変化）

仕事は $0$ なので
$Q_{AB} = Δ U = \frac{3}{2} (32 p_{0} V_{0} - p_{0} V_{0}) = \frac{93}{2} p_{0} V_{0} > 0$
で、熱を吸収する。

過程 B→C（断熱変化）

熱の出入りはない（ $Q_{BC} = 0$ ）。

過程 C→A（定圧圧縮）

$Δ U = \frac{3}{2} (p_{0} V_{0} - 8 p_{0} V_{0}) = - \frac{21}{2} p_{0} V_{0}, W_{CA} = p_{0} (V_{0} - 8 V_{0}) = - 7 p_{0} V_{0}$
$Q_{CA} = - \frac{21}{2} p_{0} V_{0} - 7 p_{0} V_{0} = - \frac{35}{2} p_{0} V_{0} < 0$
で、 $\frac{35}{2} p_{0} V_{0}$ の熱を放出する。

正味の仕事と熱効率

1 サイクルで内部エネルギーはもとにもどるので、正味の仕事は吸収した熱量と放出した熱量の差に等しい。
$Q_{in} = \frac{93}{2} p_{0} V_{0}, W = \frac{93}{2} p_{0} V_{0} - \frac{35}{2} p_{0} V_{0} = 29 p_{0} V_{0}$
（確認: B→C の仕事は $- Δ U = \frac{3}{2} (32 p_{0} V_{0} - 8 p_{0} V_{0}) = 36 p_{0} V_{0}$ 、C→A の仕事は $- 7 p_{0} V_{0}$ で、和は $29 p_{0} V_{0}$ となり一致する。）

$e = \frac{W}{Q _{in}} = \frac{29 p _{0} V _{0}}{\frac{93}{2} p _{0} V _{0}} = \frac{58}{93}$

別解

【状態 B の圧力】B→C は断熱変化なので $p_{B} V_{0}^{5/3} = p_{0} (8 V_{0})^{5/3}$ 。 $8^{5/3} = (2^{3})^{5/3} = 2^{5} = 32$ より $p_{B} = 32 p_{0}$ 。

内部エネルギーは $U = \frac{3}{2} n R T = \frac{3}{2} p V$ と書ける。
$U_{A} = \frac{3}{2} p_{0} V_{0}$ 、 $U_{B} = \frac{3}{2} \cdot 32 p_{0} \cdot V_{0} = 48 p_{0} V_{0}$ 、 $U_{C} = \frac{3}{2} p_{0} \cdot 8 V_{0} = 12 p_{0} V_{0}$ 。

【A→B（定積）】仕事 0。 $Q_{A B} = U_{B} - U_{A} = 48 p_{0} V_{0} - \frac{3}{2} p_{0} V_{0} = \frac{93}{2} p_{0} V_{0} > 0$ （吸熱）。

【B→C（断熱）】 $Q_{B C} = 0$ 。気体がした仕事 $W_{B C} = - (U_{C} - U_{B}) = 48 p_{0} V_{0} - 12 p_{0} V_{0} = 36 p_{0} V_{0}$ 。

【C→A（定圧圧縮）】気体がした仕事 $W_{C A} = p_{0} (V_{0} - 8 V_{0}) = - 7 p_{0} V_{0}$ 。 $Δ U = U_{A} - U_{C} = \frac{3}{2} p_{0} V_{0} - 12 p_{0} V_{0} = - \frac{21}{2} p_{0} V_{0}$ 。 $Q_{C A} = Δ U + W_{C A} = - \frac{21}{2} p_{0} V_{0} - 7 p_{0} V_{0} = - \frac{35}{2} p_{0} V_{0} < 0$ （放熱）。

【まとめ】吸熱は A→B のみなので $Q_{in} = \frac{93}{2} p_{0} V_{0}$ 。正味の仕事 $W = 0 + 36 p_{0} V_{0} - 7 p_{0} V_{0} = 29 p_{0} V_{0}$ 。（検算: $Q_{A B} + Q_{C A} = \frac{93}{2} - \frac{35}{2} = 29$ で $W$ と一致。）

$e = \frac{29 p _{0} V _{0}}{\frac{93}{2} p _{0} V _{0}} = \frac{58}{93} \approx 0.62$ 。

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