熱力学第一法則

$Δ U = Q - W$ （ $W$ は気体が外部にした仕事）を使い、吸収した熱量・仕事・内部エネルギーの変化のうち未知のものを求められる

前提

理想気体の内部エネルギー（高校物理熱と気体）
気体がする仕事と p-V 図（高校物理熱と気体）

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算数中学高校大学大学院

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気体がする仕事と p-V 図（高校物理熱と気体）

説明

熱力学第一法則 $Δ U = Q - W$ は、気体に出入りするエネルギーの収支を表す式です。気体が吸収した熱量 $Q$ 、気体が外部にした仕事 $W$ 、内部エネルギーの変化 $Δ U$ の 3 つのうち 2 つがわかれば、残りの 1 つが求められます。ピストン付き容器の気体を温めたり、圧縮したり、断熱的に膨張させたりする場面で使います。熱機関のサイクルで、吸収した熱と仕事の関係を調べるときの基本にもなります。

なぜそうしてよいのか

気体の内部エネルギー $U$ は、気体分子がもつ運動エネルギーの総和です。この量が変わる原因は 2 つしかありません。外から熱としてエネルギーが入ってくること、そして気体がピストンを押して外部に仕事をする（エネルギーを外へ渡す）ことです。エネルギーは勝手に生まれたり消えたりしないので、「増えた分 = 入ってきた分 − 出ていった分」が成り立ちます。これを式にしたものが $Δ U = Q - W$ です。

ここで符号の約束が大切です。 $Q$ は気体が吸収した熱量で、熱を放出したときは $Q < 0$ です。 $W$ は気体が外部にした仕事で、膨張（ $Δ V > 0$ ）なら $W > 0$ 、圧縮（ $Δ V < 0$ ）なら $W < 0$ です。圧縮されると外から仕事をされてエネルギーが入るので、 $- W > 0$ となって $Δ U$ を増やす向きにはたらきます。なお、外部が気体にした仕事 $W^{'} = - W$ を使って $Δ U = Q + W^{'}$ と書く教科書もありますが、中身は同じです。

この式から、よく出る特別な場合がすぐにわかります。定積変化では $W = 0$ なので $Δ U = Q$ 、断熱変化では $Q = 0$ なので $Δ U = - W$ 、理想気体の等温変化では温度が変わらず $Δ U = 0$ なので $Q = W$ 、もとの状態に戻るサイクルでは $Δ U = 0$ なので（正味の） $Q = W$ となります。

手順

$Q$ , $W$ , $Δ U$ のうち、どれが与えられていて、どれを求めるかを整理する。
符号を決める：熱を吸収なら $Q > 0$ 、放出なら $Q < 0$ 。膨張なら $W > 0$ 、圧縮なら $W < 0$ 。
わかっている量を求める。仕事は定圧なら $W = p Δ V$ 、一般には $p$ - $V$ 図の面積。単原子分子理想気体の $Δ U$ は $\frac{3}{2} n R Δ T$ 。定積なら $W = 0$ 、断熱なら $Q = 0$ 、理想気体の等温変化なら $Δ U = 0$ を使う。
$Δ U = Q - W$ に代入して未知の量を求め、符号の意味（増加・減少、吸収・放出）を確かめる。

例題

なめらかに動くピストン付きの容器に理想気体が入っている。気体に熱量 $500 J$ を与えたところ、気体は圧力 $1.0 \times 1 0^{5} Pa$ を一定に保ったまま、体積が $2.0 \times 1 0^{- 3} m^{3}$ から $4.0 \times 1 0^{- 3} m^{3}$ に膨張した。この間の気体の内部エネルギーの変化は何 J か。有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

手順 1：与えられているのは吸収した熱量 $Q$ と、仕事を計算するための圧力・体積です。求めるのは $Δ U$ です。

手順 2：気体は熱を吸収したので $Q = + 500 J$ 。膨張したので $W > 0$ です。

手順 3：圧力が一定なので $W = p Δ V = (1.0 \times 1 0^{5}) \times (4.0 \times 1 0^{- 3} - 2.0 \times 1 0^{- 3}) = 2.0 \times 1 0^{2} J$

手順 4：熱力学第一法則に代入すると $Δ U = Q - W = 500 - 200 = 3.0 \times 1 0^{2} J$ となります。 $Δ U > 0$ なので内部エネルギーは増加しました。受け取った $500 J$ のうち $200 J$ を仕事として外に出し、残りの $300 J$ が内部エネルギーとしてたまったことになります。

答え: $3.0 \times 1 0^{2}$

よくある誤り

$W$ を外部が気体にした仕事と取り違えて $Δ U = Q + W$ とし、上の例題で $Δ U = 500 + 200 = 700 J$ としてしまう誤り。正しくは、 $W$ が気体のした仕事なら $Δ U = Q - W = 300 J$ です。
圧縮のときも $W$ を正の値のまま使ってしまう誤り。たとえば $p = 1.0 \times 1 0^{5} Pa$ で体積が $1.0 \times 1 0^{- 3} m^{3}$ 減ったときは $W = p Δ V = - 100 J$ です。断熱圧縮なら $Δ U = - W = + 100 J$ で、温度は上がります。
熱を放出した場合に $Q$ を正のまま代入してしまう誤り。 $200 J$ の熱を放出したときは $Q = - 200 J$ として $Δ U = - 200 - W$ と計算します。
理想気体の等温変化で、熱を加えたのだから内部エネルギーも増えると考えてしまう誤り。温度が一定なら $Δ U = \frac{3}{2} n R Δ T = 0$ なので $Q = W$ となり、吸収した熱はすべて外部への仕事になります。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

定積変化・定圧変化とモル比熱（高校物理熱と気体）
等温変化と断熱変化（高校物理熱と気体）
直線的な過程での吸熱と放熱の切りかわり（高校物理熱と気体）
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