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熱工学・伝熱の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学物理熱工学・伝熱

火花点火機関を理想化したオットーサイクル（空気標準サイクル）を考える。作動流体は定積比熱 $c_{v} = 0.80 kJ/(kg \cdot K)$ 、比熱比 $γ = \frac{4}{3}$ がともに一定の理想気体とみなし、作動流体の量は一定とする。サイクルは次の 4 つの可逆過程からなる。

状態 1 → 2: 断熱圧縮。圧縮比 $ε = V_{1} / V_{2} = 8$ 、状態 1 の温度は $T_{1} = 300 K$
状態 2 → 3: 定積加熱。状態 3 の温度は $T_{3} = 1800 K$
状態 3 → 4: 断熱膨張（ $V_{4} = V_{1}$ ）
状態 4 → 1: 定積放熱

作動流体 $1 kg$ あたり、1 サイクルで外部にする正味の仕事は何 $kJ$ か。整数で求めよ。

この問題で使うもの

オットーサイクル・ディーゼルサイクルの熱効率（説明と入口の問題）
熱力学第一法則（説明と入口の問題）
等温変化と断熱変化（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（55 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

断熱過程の前後の温度を求め、定積過程での吸熱量と放熱量を計算する。

ヒント 2

可逆断熱過程では $T V^{γ - 1} = 一定$ 。定積過程の熱量は $c_{v} Δ T$ で、正味の仕事は（吸熱量）−（放熱量）。

ヒント 3

$T_{2} = 300 \times 8^{1/3} = 600 K$ 、 $T_{4} = 1800 \times 8^{- 1/3} = 900 K$ となる。あとは $q_{in}$ と $q_{out}$ を求めて差をとる。

答えと解説

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480

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解説を読む

可逆断熱過程では、理想気体について $T V^{γ - 1} = 一定$ が成り立つ。 $γ - 1 = \frac{1}{3}$ である。

状態 2 の温度
$T_{2} = T_{1} (\frac{V _{1}}{V _{2}})^{γ - 1} = 300 \times 8^{1/3} = 300 \times 2 = 600 K$

状態 4 の温度（ $V_{4} / V_{3} = V_{1} / V_{2} = 8$ ）
$T_{4} = T_{3} (\frac{V _{3}}{V _{4}})^{γ - 1} = 1800 \times \frac{1}{2} = 900 K$

熱の出入り
定積過程では仕事をしないので、熱力学第一法則より吸収した熱は内部エネルギーの変化に等しい。1 kg あたり
$q_{in} = c_{v} (T_{3} - T_{2}) = 0.80 \times (1800 - 600) = 960 kJ/kg$
$q_{out} = c_{v} (T_{4} - T_{1}) = 0.80 \times (900 - 300) = 480 kJ/kg$
断熱過程では熱の出入りがない。

正味の仕事
1 サイクルで内部エネルギーはもとに戻るので、正味の仕事は正味の吸熱に等しい。
$w = q_{in} - q_{out} = 960 - 480 = 480 kJ/kg$

（確認: 熱効率は $η = w / q_{in} = 1/2$ で、オットーサイクルの式 $η = 1 - ε^{1 - γ} = 1 - \frac{1}{2}$ と一致する。）

答えは $480$ kJ である。

別解

断熱過程では $T V^{γ - 1}$ が一定。 $γ - 1 = \frac{1}{3}$ 、 $ε^{γ - 1} = 8^{1/3} = 2$ 。

状態 2: $T_{2} = T_{1} ε^{γ - 1} = 300 \times 2 = 600 K$ 。
状態 4: $V_{4} = V_{1}$ なので $T_{4} = T_{3} (V_{3} / V_{4})^{γ - 1} = T_{3} / ε^{γ - 1} = 1800/2 = 900 K$ 。

吸熱 $q_{in} = c_{v} (T_{3} - T_{2}) = 0.80 \times (1800 - 600) = 960 kJ/kg$ 。
放熱 $q_{o u t} = c_{v} (T_{4} - T_{1}) = 0.80 \times (900 - 300) = 480 kJ/kg$ 。
正味の仕事 $w = q_{in} - q_{o u t} = 960 - 480 = 480 kJ$ 。

検算: 熱効率 $η = 1 - ε^{1 - γ} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ 、 $w = η q_{in} = 0.5 \times 960 = 480$ 。

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