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熱工学・伝熱の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学物理熱工学・伝熱

理論オットーサイクル（空気標準サイクル）を考える。作動流体は定積比熱 $c_{v}$ が一定の理想気体で、比熱比を $κ = 1.4$ とする。作動流体の量は一定で、サイクルは次の 4 つの可逆過程からなる。

状態 1 → 2: 断熱圧縮
状態 2 → 3: 等積加熱
状態 3 → 4: 断熱膨張
状態 4 → 1: 等積放熱

圧縮始めの温度を $T_{1} = 300 K$ 、サイクルの最高温度（状態 3 の温度）を $T_{3} = 1500 K$ に固定し、圧縮比 $ε = V_{1} / V_{2}$ （ $ε > 1$ 、ただし $T_{2} < T_{3}$ となる範囲）だけを変える。作動流体の単位質量あたりの正味仕事が最大になるように $ε$ を選んだとき、このサイクルの理論熱効率を求めよ。答えは根号を含む正確な値で示せ。

この問題で使うもの

オットーサイクル・ディーゼルサイクルの熱効率（説明と入口の問題）
多項式の微分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（59 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

正味仕事を受熱量と放熱量の差として、各状態の温度で表してみましょう。 $T_{2}$ と $T_{4}$ は断熱過程の関係 $T V^{κ - 1} = 一定$ から $ε$ で表せます。

ヒント 2

$r = ε^{κ - 1}$ とおくと $T_{2} = T_{1} r$ , $T_{4} = T_{3} / r$ となり、 $w = c_{v} (T_{3} - T_{1} r - T_{3} / r + T_{1})$ です。これを $r$ で微分します。

ヒント 3

$d w / d r = 0$ から $r = T_{3} / T_{1}$ が得られます。あとはオットーサイクルの熱効率 $η = 1 - 1/ r$ に代入します。

答えと解説

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1 - \frac{5}{5}

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解説を読む

$r = ε^{κ - 1}$ とおく。可逆断熱過程では $T V^{κ - 1} = 一定$ が成り立つので、
$T_{2} = T_{1} ε^{κ - 1} = T_{1} r, T_{4} = T_{3} (\frac{V _{3}}{V _{4}})^{κ - 1} = \frac{T _{3}}{r}$
（等積過程なので $V_{3} = V_{2}$ 、 $V_{4} = V_{1}$ ）。

等積過程では仕事をしないので、熱力学第一法則より単位質量あたりの受熱量・放熱量は内部エネルギー変化に等しい。
$q_{in} = c_{v} (T_{3} - T_{2}), q_{out} = c_{v} (T_{4} - T_{1})$
したがって正味仕事は
$w = q_{in} - q_{out} = c_{v} (T_{3} - T_{1} r - \frac{T _{3}}{r} + T_{1})$

$r$ について微分して $0$ とおくと
$\frac{d w}{d r} = c_{v} (- T_{1} + \frac{T _{3}}{r ^{2}}) = 0 ⟹ r = \frac{T _{3}}{T _{1}} = 5$
$\frac{d ^{2} w}{d r ^{2}} = - \frac{2 c _{v} T _{3}}{r ^{3}} < 0$ なので、これは最大である。また $T_{2} = 5 T_{1} \approx 671 K < T_{3}$ で条件を満たす（このとき $ε = 5^{1/ (2 \times 0.4)} = 5^{5/4} \approx 7.48$ ）。

オットーサイクルの理論熱効率は
$η = 1 - \frac{q _{out}}{q _{in}} = 1 - \frac{T _{4} - T _{1}}{T _{3} - T _{2}} = 1 - \frac{T _{3} / r - T _{1}}{T _{3} - T _{1} r} = 1 - \frac{1}{r}$
であるから、
$η = 1 - \frac{1}{5} = 1 - \frac{5}{5} \approx 0.553$

別解

単位質量あたりの正味仕事は、加えた熱から捨てた熱を引いたものである。

$w = c_{v} [(T_{3} - T_{2}) - (T_{4} - T_{1})]$

断熱過程より、 $r = ε^{κ - 1}$ とおくと $T_{2} = T_{1} r$ 、 $T_{4} = T_{3} / r$ である。

これを代入すると、

$w = c_{v} [T_{3} - T_{1} r - T_{3} / r + T_{1}]$

$r$ で微分すると、

$d w / d r = c_{v} [- T_{1} + T_{3} / r^{2}] = 0$

よって $r^{2} = T_{3} / T_{1} = 5$ 、すなわち $r = 5$ である。

二階微分は $- 2 c_{v} T_{3} / r^{3} < 0$ なので、これは最大である。

このとき $T_{2} = 3005 \approx 671 K < T_{3}$ なので、条件を満たす。また $ε = 5^{1/ (2 \cdot 0.4)} = 5^{1.25} > 1$ である。

熱効率は、

$η = 1 - \frac{T _{4} - T _{1}}{T _{3} - T _{2}} = 1 - \frac{1}{r} = 1 - \frac{1}{5} = 1 - \frac{5}{5} \approx 0.553$

検算： $T_{4} = 1500/ 5 = 3005$ なので、 $T_{4} - T_{1} = 300 (5 - 1)$ 、 $T_{3} - T_{2} = 300 (5 - 5) = 3005 (5 - 1)$ である。したがって比は $1/ 5$ となり、上の結果と一致する。

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