熱工学・伝熱の問題

使う法則

作動流体は比熱一定の理想気体で、過程は可逆なので、断熱過程では $T{V}^{\gamma -1}=\text{一定}$ が成り立つ。定積過程の熱は $c_v\Delta T$、定圧過程の熱は $c_p\Delta T=\gamma c_v\Delta T$ である（閉じた系の熱力学第一法則より）。断熱過程では熱の出入りはない。

記号として $\alpha =p_3/p_2=1.50$（圧力上昇比）、$\rho =V_4/V_3$（締切比）とおく。

各状態の温度

1 → 2（断熱圧縮）:
$$T_2=T_1{\epsilon }^{\gamma -1}=300\times 18^{0.40}$$
$\log 18=2.89037$ より $18^{0.40}=e^{1.15615}=3.17767$ なので $T_2=953.30\text{K}$。

2 → 3（定積）: $p/T$ が一定なので
$$T_3=\alpha T_2=1.50\times 953.30=1429.95\text{K}$$

3 → 4（定圧）: $V/T$ が一定なので
$$\rho =\frac{V_4}{V_3}=\frac{T_4}{T_3}=\frac{2200}{1429.95}=1.53851$$

4 → 5（断熱膨張）: $V_3=V_2$, $V_5=V_1$ より $V_4/V_5=\rho /\epsilon$ だから
$$T_5=T_4{\left(\frac{\rho }{\epsilon }\right)}^{\gamma -1}$$
ここで $T_4=\rho T_3=\rho \alpha T_1{\epsilon }^{\gamma -1}$ を代入すると
$$T_5=T_1\alpha {\rho }^{\gamma }$$
$\log \rho =0.430816$ より ${\rho }^{1.40}=e^{0.603142}=1.82785$。よって
$$T_5=300\times 1.50\times 1.82785=822.53\text{K}$$

熱量と効率

単位質量あたりの受熱量（2 → 3 と 3 → 4）は
$$q_{\text{in}}=c_v(T_3-T_2)+\gamma c_v(T_4-T_3)$$
$$=c_v\left[476.65+1.40\times 770.05\right]=c_v\times 1554.72$$

放熱量（5 → 1）は
$$q_{\text{out}}=c_v(T_5-T_1)=c_v\times 522.53$$

理論熱効率は
$$\eta =1-\frac{q_{\text{out}}}{q_{\text{in}}}=1-\frac{T_5-T_1}{(T_3-T_2)+\gamma (T_4-T_3)}=1-\frac{522.53}{1554.72}=1-0.33610=0.66390$$

$c_v$ は約分されて消えるので、比熱比だけで決まる。有効数字 3 桁で $\eta =0.664$。

（参考: 文字式で書くと $\eta =1-\frac{1}{{\epsilon }^{\gamma -1}}\cdot \frac{\alpha {\rho }^{\gamma }-1}{(\alpha -1)+\gamma \alpha (\rho -1)}$ となり、同じ値になる。）

空気標準サイクルとして、各状態の温度を順に求める。

1→2 は可逆断熱圧縮なので、$T_2=T_1{\epsilon }^{\gamma -1}=300\times 18^{0.4}=300\times 3.1777\approx 953.3\text{K}$。

2→3 は定積加熱で、$T_3=T_2\cdot (p_3/p_2)=1.5\times 953.3\approx 1430.0\text{K}$。

3→4 は定圧加熱で、$T_4=2200\text{K}$。よって締切比は $\rho =V_4/V_3=T_4/T_3\approx 1.538$。

4→5 は可逆断熱膨張で $V_5=V_1$。これを 5→1 の定積放熱とあわせて整理すると、$T_5=T_1\alpha {\rho }^{\gamma }$（$\alpha =p_3/p_2=1.5$）となる。${\rho }^{1.4}\approx 1.8277$ より $T_5=300\times 1.5\times 1.8277\approx 822.5\text{K}$。

受熱量は $Q_{in}=c_v(T_3-T_2)+c_p(T_4-T_3)=c_v(476.7+1.4\times 770.0)=c_v\times 1554.7$。

放熱量は $Q_{out}=c_v(T_5-T_1)=c_v\times 522.5$。

したがって $\eta =1-Q_{out}/Q_{in}=1-0.3361=0.664$。

検算として公式 $\eta =1-\frac{1}{{\epsilon }^{\gamma -1}}\frac{\alpha {\rho }^{\gamma }-1}{(\alpha -1)+\gamma \alpha (\rho -1)}$ を用いる。$\frac{1}{{\epsilon }^{\gamma -1}}=0.31469$、$\alpha {\rho }^{\gamma }-1=1.7416$、分母 $=0.5+2.1\times 0.5385=1.6307$ なので $\eta =1-0.31469\times 1.0680=0.664$。一致した。