なめらかに動くピストンのついた容器に、一定量の理想気体が閉じ込められている。この気体の状態を、状態 A（圧力 、体積 ）から状態 B（圧力 、体積 ）までゆっくり変化させた。この変化のあいだ、- 図（横軸に体積 、縦軸に圧力 ）の上で、気体の状態は点 A と点 B を結ぶ線分にそって動いた。この変化で気体が外部にした仕事は何 J か。有効数字 2 桁で答えよ。
AB
気体がする仕事と p-V 図
定圧変化での仕事 を求め、一般の変化では - 図のグラフと 軸で囲まれた面積として気体がした仕事（サイクルでは囲まれた面積として正味の仕事）を求められる
前提
この技能までの道筋（44 技能）
読み込み中…
右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。
一覧で見る（前提が先）
- 重力と力の大きさ （中学理科 力のはたらき）
- 2 力のつり合いと作用・反作用 （中学理科 力のはたらき）
- 大気圧による力 （中学理科 天気とその変化）
- 小数の四則計算 （算数 計算と数のきまり）
- 分数のたし算・ひき算 （算数 計算と数のきまり）
- 分数のかけ算・わり算 （算数 計算と数のきまり）
- 小数と分数のまじった計算 （算数 計算と数のきまり）
- 逆算（□ を求める） （算数 計算と数のきまり）
- 正負の数の加法・減法 （中学数学 数と式）
- 四則の混じった計算の順序 （算数 計算と数のきまり）
- 正負の数の乗除・累乗と四則混合 （中学数学 数と式）
- 分配法則を使った計算のくふう （算数 計算と数のきまり）
- 文字式の計算（同類項・分配法則） （中学数学 数と式）
- 1 次方程式の解き方 （中学数学 方程式）
- 比例・反比例の式とグラフ （中学数学 関数）
- ボイル・シャルルの法則 （高校物理 熱と気体）
- 気体の状態方程式 （高校物理 熱と気体）
- 三角形・四角形の面積 （算数 平面図形）
- 約数の見つけ方 （算数 整数の性質）
- 素因数分解と約数の個数 （算数 整数の性質）
- 平方根の意味と根号の簡単化 （中学数学 数と式）
- 三平方の定理 （中学数学 相似と三平方の定理）
- 特別な直角三角形の辺の比 （中学数学 相似と三平方の定理）
- 最大公約数と最小公倍数 （算数 整数の性質）
- 比の性質と簡単な比 （算数 割合と比）
- 三角形の角の大きさ （算数 平面図形）
- 相似な三角形と長さの比 （算数 平面図形）
- 対頂角と平行線の同位角・錯角 （中学数学 平面図形）
- 三角形の相似条件と対応する辺の長さ （中学数学 相似と三平方の定理）
- 三角比の定義と値 （数学I 図形と計量）
- 三角形の外角と角の組み合わせ （中学数学 平面図形）
- 二等辺三角形の角 （中学数学 平面図形）
- 平行四辺形と特別な四角形の性質 （中学数学 平面図形）
- 乗法公式による展開 （中学数学 数と式）
- 折り返した図形の角と長さ （中学数学 平面図形）
- 三平方の定理と平面図形 （中学数学 相似と三平方の定理）
- ベクトルの演算と成分 （数学C ベクトル）
- 力の種類とはたらき （中学理科 物理分野の用語と知識）
- 重力・垂直抗力・張力の性質 （高校物理 力と運動（知識））
- 慣性の法則と力のつり合い （高校物理 力と運動（知識））
- 力の分解と質点のつり合い （高校物理 力と運動）
- 静止摩擦力・最大摩擦力・動摩擦力 （高校物理 力と運動（知識））
- 静止摩擦力と動摩擦力 （高校物理 力と運動）
- 仕事 （高校物理 仕事・エネルギーと運動量）
説明
シリンダー内の気体が膨張したり圧縮されたりするとき、気体がピストンを押す力によってする仕事を求められるようになります。圧力が一定なら で計算できます。圧力が変わる場合でも、- 図（横軸に体積 、縦軸に圧力 をとったグラフ）の面積から仕事を読み取れます。熱機関のように状態が一周して元に戻る変化をサイクルといいます。サイクルでは、グラフが囲む面積が、一周の間に気体がした正味の仕事になります。
なぜそうしてよいのか
断面積 のなめらかなピストンを、圧力 の気体がゆっくり押し出す場面を考えます。気体がピストンを押す力の大きさは で、向きはピストンが動く向きと同じです。ピストンが 動くと、仕事の式 で とおけるので、 になります。 は体積の増加 なので、 です。反対に気体が圧縮されるときは、ピストンは力と逆向き（）に動きます。このとき となり、仕事は負になります。体積が変わらなければピストンは動かないので、仕事は です。
- 図で見ると、 は「高さ 、幅 」の長方形の面積です。圧力が変わる変化では、体積の変化を細かく区切って考えます。区切った1区間ごとには圧力がほぼ一定とみなせるので、その区間の仕事は細い長方形の面積になります。それらを足し合わせると、グラフと 軸ではさまれた部分の面積になります。
サイクルでは、膨張する部分で正の仕事（グラフの下の面積）をし、圧縮される部分で負の仕事（グラフの下の面積にマイナスを付けたもの）をします。両者の差がグラフで囲まれた部分の面積で、これが正味の仕事です。- 図上で時計回りに一周するときは、高い圧力で膨張し、低い圧力で圧縮されます。そのため正味の仕事は正になります。反時計回りなら負です。
手順
始めと終わりの体積 , を確認し、単位を SI（Pa と ）にそろえる（、、）。
圧力が一定（定圧変化）なら、 で計算する。
圧力が変わるなら - 図をかく。 から までのグラフと 軸ではさまれた部分の面積を、長方形・台形・三角形に分けて求める。
符号を決める。体積が増えれば気体がした仕事は正、減れば負（面積にマイナスを付ける）、体積が一定なら とする。
サイクルでは、グラフで囲まれた面積が正味の仕事になる。- 図で時計回りなら正、反時計回りなら負とする。気体が外部からされた仕事は、気体がした仕事の符号を反対にした になる。
例題
シリンダーに閉じ込めた気体を、状態 A（圧力 、体積 ）から状態 B（圧力 、体積 ）までゆっくり変化させた。この間、- 図上で状態は A と B を結ぶ線分にそって変化した（圧力は体積に対して一次関数的に変化した）。この変化で気体がした仕事は何 J か。有効数字 2 桁で求めよ。
例題の解答
手順1：単位はすでに Pa と にそろっています。、 です。
手順2・3：圧力が一定ではないので、- 図の面積を使います。線分 AB、 軸、 と の縦線で囲まれた部分は台形です。平行な2辺の長さは と 、高さ（幅）は です。
手順4：体積が増えているので、気体がした仕事は正です。よって答えは です。
答え:
よくある誤り
圧力が変わる変化で、終わりの圧力だけを使って としてしまう誤り。正しくは - 図の面積（台形）から です。
ある状態での積 を仕事としてしまう誤り（例：）。正しくは体積の変化量を使い、定圧なら です。
圧縮のときも仕事を正としてしまう誤り。例えば圧力 のまま体積が から になったときは、 です。このとき気体が外部からされた仕事は になります。
単位をそろえずに Pa と をそのまま掛けてしまう誤り（例： を J とする）。正しくは より と直し、 とします。
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
なめらかに動くピストンのついた容器に、一定量の気体が入っている。この気体の状態を、状態 （圧力 、体積 ）から状態 （圧力 、体積 ）までゆっくり変化させた。この変化は、縦軸に圧力 、横軸に体積 をとった - 図上で、点 と点 を結ぶ線分で表される。状態 から状態 までの間に、気体が外部にした仕事は何 J か。有効数字 2 桁で求めよ。
ABなめらかに動くピストンのついたシリンダーに、一定量の理想気体が閉じこめられている。この気体の状態を、状態 （圧力 、体積 ）から状態 （圧力 、体積 ）へ、ゆっくりと変化させた。この変化のあいだ、- 図（横軸に体積 、縦軸に圧力 をとったグラフ）の上で、気体の状態は と を結ぶ線分にそって変化した。 の変化のあいだに気体が外部にした仕事は何 J か。有効数字 2 桁で求めよ。
この技能を使う問題
鉛直に立てたシリンダーに、なめらかに動くピストンで物質量 の単原子分子理想気体を閉じこめた。ピストンの上側は大気に接しており、気体の圧力はつねに一定に保たれる。この気体を内部のヒーターでゆっくり加熱したところ、気体の絶対温度が 上昇した。
気体定数を とし、単原子分子理想気体の内部エネルギーは物質量 、絶対温度 を用いて と表されるものとする。シリンダーとピストンは熱を通さず、ヒーターの熱容量は無視する。
この間に気体が吸収した熱量は何 か。有効数字 2 桁で答えよ。
気体 大気ピストンヒーター水平に置いたシリンダーに、なめらかに動く軽いピストンで単原子分子理想気体が閉じこめられている。シリンダーの外は大気で、大気圧は で一定である。シリンダー内の気体に、ヒーターでゆっくりと の熱を与えたところ、ピストンは外向きにゆっくり動いた。この間、気体の圧力はつねに大気圧に等しかったものとする。シリンダーとピストンを通しての熱の出入りはなく、ヒーターの体積は無視できる。
単原子分子理想気体の内部エネルギーは、物質量を 、気体定数を 、絶対温度を として で表される。熱を与える前後で、気体の体積は何 増加したか。有効数字 2 桁で求めよ。
気体ヒーターピストンが動く向き大気ピストンは軽く、なめらかに動く なめらかに動くピストンのついたシリンダーに、物質量 の単原子分子理想気体が閉じこめられている。この気体の状態を、次の 4 つの過程からなるサイクル で変化させる。圧力 、体積 は正の定数とする。
- ：体積を に保ったまま、圧力を から にする。
- ：圧力を に保ったまま、体積を から にする。
- ：体積を に保ったまま、圧力を から にする。
- ：圧力を に保ったまま、体積を から にする。
単原子分子理想気体の定積モル比熱は 、定圧モル比熱は （ は気体定数）とする。このサイクルを熱機関とみなしたとき、熱効率 （1 サイクルで気体が外部にした正味の仕事を、1 サイクルで気体が吸収した熱量の和で割ったもの）を分数で求めよ。
水平に固定された断面積 のシリンダーに、なめらかに動くピストンで mol の 2 原子分子理想気体（定積モル比熱 、 は気体定数）が閉じ込められている。シリンダーの外は圧力 の大気で、大気圧は常に一定とする。ピストンの外側には、ばね定数 のばねの一端が取り付けられ、ばねの他端は壁に固定されている。ピストンが外向きに動くと、ばねは縮んでピストンを内向きに押す。
はじめ、気体は圧力 ・体積 ・温度 の平衡状態にあり、ばねは自然長である。ばね定数は を満たすとする。この状態から気体をゆっくり（準静的に）加熱し、気体の体積が になったところで加熱をやめた。
この過程で気体に与えた熱量 のうち、ばねの弾性エネルギーとして蓄えられたエネルギー の割合 を、既約分数で求めよ。ただし、シリンダー・ピストン・ばねの熱容量、ピストンとシリンダーの間の摩擦、ばねの質量は無視し、シリンダーとピストンを通しての熱の出入りは加熱による分だけとする。
物質量 の単原子分子理想気体を作業物質とする熱機関がある。気体の圧力を 、体積を として、気体の状態を次の 3 つの過程からなるサイクル でゆっくり変化させる。、 は正の定数である。
- : 体積を に保ったまま、圧力を から にする
- : - 図上で、点 と点 を結ぶ線分に沿って変化させる
- : 圧力を に保ったまま、体積を から にする
単原子分子理想気体の内部エネルギーは と表される。このサイクルの熱効率（1 サイクルで気体が外部にした正味の仕事を、1 サイクルで気体が吸収した熱量の合計で割ったもの）を求めよ。ただし、「吸収した熱量の合計」には、1 つの過程の途中で吸収から放出に切りかわる場合、吸収している部分だけを数える。
なめらかに動くピストンのついたシリンダーに、一定量の単原子分子理想気体が閉じこめられている。気体の状態を、圧力 と体積 を用いて、次の 3 つの過程からなるサイクル でゆっくりと変化させる。ただし、, は正の定数である。
- 状態 : 圧力 、体積
- 状態 : 圧力 、体積
- 状態 : 圧力 、体積
- 過程 : - 図（横軸 、縦軸 ）上で、 と を結ぶ線分にそって変化する
- 過程 : 圧力を に保ったまま変化する（定圧変化）
- 過程 : 体積を に保ったまま変化する（定積変化）
このサイクルを熱機関とみなし、1 サイクルの間に気体が外部にした正味の仕事を 、1 サイクルの間に気体が外部から吸収した熱量の合計（熱を吸収している部分だけの和で、放出した熱量は差し引かない）を とする。熱効率 を求めよ。
なお、物質量 の単原子分子理想気体の内部エネルギーは、気体定数を 、絶対温度を として である。
なめらかに動くピストンのついたシリンダーに、一定量の単原子分子理想気体が閉じこめられている。この気体を熱機関の作業物質として、次の 3 つの過程からなるサイクル をゆっくりと行わせる。ただし、, は正の定数である。
- 状態 の圧力は 、体積は である。
- 過程 : 体積を に保ったまま加熱する（定積変化）。
- 過程 : 外部との熱の出入りがない状態で膨張させる（断熱変化）。状態 の圧力は 、体積は である。
- 過程 : 圧力を に保ったまま圧縮して、状態 にもどす（定圧変化）。
単原子分子理想気体が断熱変化をするとき、圧力 と体積 の間には の関係が成り立つ。また、物質量 の単原子分子理想気体の内部エネルギーは、気体定数を 、絶対温度を として である。
1 サイクルの間に気体が外部にした正味の仕事を 、1 サイクルの間に気体が外部から吸収した熱量の合計を とするとき、この熱機関の熱効率 を求めよ。
断熱変化縦軸の縮尺は正確ではない
この技能の次に学べること
- 動くピストンと分子運動論 （高校物理 熱と気体）
- 熱力学第一法則 （高校物理 熱と気体）