この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

熱力学の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理熱力学

水平に固定された断面積 $S$ のシリンダーに、なめらかに動くピストンで $n$ mol の 2 原子分子理想気体（定積モル比熱 $C_{V} = \frac{5}{2} R$ 、 $R$ は気体定数）が閉じ込められている。シリンダーの外は圧力 $P_{0}$ の大気で、大気圧は常に一定とする。ピストンの外側には、ばね定数 $k$ のばねの一端が取り付けられ、ばねの他端は壁に固定されている。ピストンが外向きに動くと、ばねは縮んでピストンを内向きに押す。

はじめ、気体は圧力 $P_{0}$ ・体積 $V_{0}$ ・温度 $T_{0}$ の平衡状態にあり、ばねは自然長である。ばね定数は $k = \frac{P _{0} S ^{2}}{V _{0}}$ を満たすとする。この状態から気体をゆっくり（準静的に）加熱し、気体の体積が $2 V_{0}$ になったところで加熱をやめた。

この過程で気体に与えた熱量 $Q$ のうち、ばねの弾性エネルギーとして蓄えられたエネルギー $U_{s}$ の割合 $\frac{U _{s}}{Q}$ を、既約分数で求めよ。ただし、シリンダー・ピストン・ばねの熱容量、ピストンとシリンダーの間の摩擦、ばねの質量は無視し、シリンダーとピストンを通しての熱の出入りは加熱による分だけとする。

この問題で使うもの

一般の準静的過程の仕事と熱（説明と入口の問題）
熱力学第一法則（説明と入口の問題）
理想気体の内部エネルギー（説明と入口の問題）
気体がする仕事と p-V 図（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（81 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

ピストンの力のつりあいから、気体の圧力 $P$ を体積 $V$ の関数として表し、熱力学第 1 法則 $Q = Δ U + W$ を使う。

ヒント 2

$k = \frac{P _{0} S ^{2}}{V _{0}}$ を代入すると $P = \frac{P _{0}}{V _{0}} V$ となる。仕事は $W = \int P d V$ 、ばねのエネルギーは $\frac{1}{2} k x^{2}$ （ $x = \frac{V _{0}}{S}$ ）で求められる。

ヒント 3

終わりの温度は $4 T_{0}$ で、 $Δ U = \frac{15}{2} P_{0} V_{0}$ 、 $W = \frac{3}{2} P_{0} V_{0}$ となる。あとは $Q$ と $U_{s}$ を $P_{0} V_{0}$ で表して比をとる。

答えと解説

答えを見る

\frac{1}{18}

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

気体の圧力と体積の関係

加熱は準静的なので、ピストンは各瞬間で力のつりあいを保つ。気体の体積が $V$ のとき、ピストンの変位は $x = \frac{V - V _{0}}{S}$ で、ばねはピストンを内向きに $k x$ の力で押す。ピストンにはたらく力のつりあい $P S = P_{0} S + k x$ より
$P = P_{0} + \frac{k ( V - V _{0} )}{S ^{2}} = P_{0} + \frac{P _{0}}{V _{0}} (V - V_{0}) = \frac{P _{0}}{V _{0}} V$
となる（ $k = \frac{P _{0} S ^{2}}{V _{0}}$ を用いた）。 $V = 2 V_{0}$ のとき $P = 2 P_{0}$ である。

温度変化と内部エネルギー変化

状態方程式 $P V = n R T$ より、はじめ $n R T_{0} = P_{0} V_{0}$ 、終わりの温度 $T_{1}$ は $n R T_{1} = 2 P_{0} \cdot 2 V_{0} = 4 P_{0} V_{0}$ なので $T_{1} = 4 T_{0}$ 。理想気体の内部エネルギーは温度だけで決まり $U = n C_{V} T$ だから
$Δ U = \frac{5}{2} n R (T_{1} - T_{0}) = \frac{5}{2} \cdot 3 P_{0} V_{0} = \frac{15}{2} P_{0} V_{0} .$

気体がした仕事

準静的過程なので気体がする仕事は $W = \int P d V$ で計算できる。
$W = \int_{V_{0}}^{2 V_{0}} \frac{P _{0}}{V _{0}} V d V = \frac{P _{0}}{V _{0}} \cdot \frac{( 2 V _{0} ) ^{2} - V _{0}^{2}}{2} = \frac{3}{2} P_{0} V_{0} .$

熱量（熱力学第 1 法則）

$Q = Δ U + W = \frac{15}{2} P_{0} V_{0} + \frac{3}{2} P_{0} V_{0} = 9 P_{0} V_{0} .$

ばねの弾性エネルギー

最終的なばねの縮みは $x_{1} = \frac{2 V _{0} - V _{0}}{S} = \frac{V _{0}}{S}$ なので
$U_{s} = \frac{1}{2} k x_{1}^{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{P _{0} S ^{2}}{V _{0}} \cdot \frac{V _{0}^{2}}{S ^{2}} = \frac{1}{2} P_{0} V_{0} .$
（確認：気体の仕事 $W = \frac{3}{2} P_{0} V_{0}$ は、大気を押しのける仕事 $P_{0} \cdot V_{0}$ と、ばねに蓄えられるエネルギー $\frac{1}{2} P_{0} V_{0}$ の和になっている。ピストンは準静的に動き運動エネルギーをもたず、摩擦もないので、この分配が成り立つ。）

割合

$\frac{U _{s}}{Q} = \frac{\frac{1}{2} P _{0} V _{0}}{9 P _{0} V _{0}} = \frac{1}{18} .$

別解

ピストンの変位を $x = (V - V_{0}) / S$ とする（外向きを正）。ピストンの力のつり合いは $P S = P_{0} S + k x$ である。 $k = P_{0} S^{2} / V_{0}$ を代入すると $P = P_{0} + \frac{P _{0}}{V _{0}} (V - V_{0}) = P_{0} \frac{V}{V _{0}}$ となる。

終状態は $V = 2 V_{0}$ 、 $P = 2 P_{0}$ である。 $P V = n R T$ より $T = 4 T_{0}$ となる。ここで $P_{0} V_{0} = n R T_{0}$ を用いた。

内部エネルギーの変化は $Δ U = n C_{V} Δ T = \frac{5}{2} n R \cdot 3 T_{0} = \frac{15}{2} P_{0} V_{0}$ である。

気体がする仕事は $W = \int_{V_{0}}^{2 V_{0}} P_{0} \frac{V}{V _{0}} d V = \frac{P _{0}}{2 V _{0}} (4 V_{0}^{2} - V_{0}^{2}) = \frac{3}{2} P_{0} V_{0}$ である。

熱力学第一法則より $Q = Δ U + W = \frac{15}{2} P_{0} V_{0} + \frac{3}{2} P_{0} V_{0} = 9 P_{0} V_{0}$ となる。

ばねの弾性エネルギーは $x = V_{0} / S$ より $U_{s} = \frac{1}{2} k x^{2} = \frac{1}{2} \frac{P _{0} S ^{2}}{V _{0}} \frac{V _{0}^{2}}{S ^{2}} = \frac{1}{2} P_{0} V_{0}$ である。

よって $U_{s} / Q = \frac{1/2}{9} = \frac{1}{18}$ となる。

検算： $W$ のうち大気への仕事は $P_{0} V_{0}$ 、ばねへの仕事は $\frac{1}{2} P_{0} V_{0}$ で、合計 $\frac{3}{2} P_{0} V_{0}$ となり $W$ と一致する。

熱力学の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題