定積変化・定圧変化とモル比熱

定積変化で $Q = n C_{V} Δ T$ 、定圧変化で $Q = n C_{p} Δ T$ （単原子分子で $C_{V} = \frac{3}{2} R$ 、 $C_{p} = \frac{5}{2} R$ 、 $C_{p} = C_{V} + R$ ）を使って、吸収した熱量や温度・体積の変化を求められる

前提

熱力学第一法則（高校物理熱と気体）

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算数中学高校大学大学院

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熱力学第一法則（高校物理熱と気体）

説明

気体の体積を一定に保つ変化（定積変化）や、圧力を一定に保つ変化（定圧変化）で、気体が吸収する熱量と温度変化を 1 つの式で結びつけられるようになります。物質量 1 mol の気体の温度を 1 K 上げるのに必要な熱量を「モル比熱」といい、定積変化では定積モル比熱 $C_{V}$ 、定圧変化では定圧モル比熱 $C_{p}$ を使います。シリンダー内の気体を加熱する問題で、熱量・温度変化・体積変化を求めるときに使います。

なぜそうしてよいのか

物質量 $n$ の単原子分子理想気体の内部エネルギーは $U = \frac{3}{2} n R T$ なので、温度が $Δ T$ 変わると $Δ U = \frac{3}{2} n R Δ T$ です。定積変化では体積が変わらないので、気体が外部にする仕事は $W = 0$ です。熱力学第一法則 $Δ U = Q - W$ より $Q = Δ U = \frac{3}{2} n R Δ T$ となります。これを $Q = n C_{V} Δ T$ と書いたときの $C_{V} = \frac{3}{2} R$ が定積モル比熱です。

定圧変化では、圧力 $p$ のまま体積が $Δ V$ 変わるので $W = p Δ V$ です。状態方程式 $p V = n R T$ で $p$ が一定なら $p Δ V = n R Δ T$ なので $W = n R Δ T$ となります。第一法則より $Q = Δ U + W = \frac{3}{2} n R Δ T + n R Δ T = \frac{5}{2} n R Δ T$ です。これを $Q = n C_{p} Δ T$ と書いて $C_{p} = \frac{5}{2} R$ となります。

定圧で温めると、気体は膨張して外部に仕事をします。そのぶん同じ温度上昇でも余分に熱が必要になり、 $C_{p} = C_{V} + R$ と $R$ だけ大きくなります。この関係は単原子分子に限らず理想気体で成り立ちます。なお、理想気体の $Δ U = n C_{V} Δ T$ は定積変化に限らずどの変化でも成り立ちます。内部エネルギーは温度だけで決まるからです。

手順

変化の種類を見分ける：体積一定なら定積変化、圧力一定なら定圧変化。
使うモル比熱を選ぶ：定積なら $C_{V}$ 、定圧なら $C_{p} = C_{V} + R$ （単原子分子では $C_{V} = \frac{3}{2} R$ 、 $C_{p} = \frac{5}{2} R$ ）。
温度変化 $Δ T = T_{後} - T_{前}$ を求める。定圧で体積変化がわかっているときは $Δ T = \frac{p Δ V}{n R}$ を使う。
$Q = n C Δ T$ （ $C$ は選んだモル比熱）に代入して熱量を求める。逆に $Q$ がわかっていれば $Δ T = \frac{Q}{n C}$ で温度変化を求める。
必要なら $Δ U = n C_{V} Δ T$ 、 $W = Q - Δ U$ （定圧なら $W = p Δ V = n R Δ T$ ）で内部エネルギー変化や仕事も求める。

例題

なめらかに動くピストンのついたシリンダーに、物質量 $1.0 mol$ の単原子分子理想気体が入っている。圧力を一定に保ったままゆっくり加熱し、温度を $300 K$ から $340 K$ に上げた。このとき気体が吸収した熱量は何 J か。気体定数を $R = 8.3 J/ (mol \cdot K)$ とし、有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

手順1：圧力が一定なので定圧変化である。
手順2：単原子分子の定圧モル比熱は $C_{p} = \frac{5}{2} R$ である。
手順3：温度変化は $Δ T = 340 - 300 = 40 K$ である。
手順4： $Q = n C_{p} Δ T = 1.0 \times \frac{5}{2} \times 8.3 \times 40 = 830 J$ となる。有効数字 2 桁で $8.3 \times 1 0^{2} J$ である。
（確認： $Δ U = n C_{V} Δ T = 1.0 \times \frac{3}{2} \times 8.3 \times 40 = 498 J$ 、 $W = n R Δ T = 332 J$ で、 $Δ U + W = 830 J$ となり一致する。）

答え: $8.3 \times 1 0^{2}$

よくある誤り

定圧変化なのに $Q = n C_{V} Δ T = \frac{3}{2} n R Δ T$ としてしまう誤り。正しくは、膨張による仕事 $W = n R Δ T$ の分も加えて $Q = n C_{p} Δ T = \frac{5}{2} n R Δ T$ 。
定圧変化で $Δ U$ を $n C_{p} Δ T$ としてしまう誤り。正しくは、内部エネルギーの変化はどの変化でも $Δ U = n C_{V} Δ T$ で、 $n C_{p} Δ T$ は吸収した熱量 $Q$ である。
定積変化でも気体が仕事をすると考えて $Q = Δ U + n R Δ T$ としてしまう誤り。正しくは、体積が変わらないので $W = 0$ で、 $Q = Δ U = n C_{V} Δ T$ 。
温度を下げた（冷却した）場合に $Δ T$ を正にとってしまう誤り。正しくは $Δ T = T_{後} - T_{前} < 0$ なので $Q < 0$ となり、気体は $∣ Q ∣$ の熱を放出したことを表す。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

熱機関のサイクルと熱効率（高校物理熱と気体）
一般の準静的過程の仕事と熱（大学物理熱力学）
理想気体の等温・断熱変化の仕事と熱（大学化学化学熱力学）
分配関数から求める内部エネルギーと熱容量（大学化学統計熱力学）