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熱力学の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理熱力学

$n$ mol の単原子分子理想気体（定積モル比熱 $C_{V} = \frac{3}{2} R$ 、 $R$ は気体定数）を作業物質として、次の 4 つの準静的過程からなるサイクル $A \to B \to C \to D \to A$ を行う熱機関を考える（ $T_{0} > 0$ , $V_{0} > 0$ ）。

$A \to B$ ：体積 $V_{0}$ のまま、温度を $T_{0}$ から $2 T_{0}$ まで上げる。
$B \to C$ ：温度 $2 T_{0}$ のまま、体積を $V_{0}$ から $e^{2} V_{0}$ まで膨張させる（ $e$ は自然対数の底）。
$C \to D$ ：体積 $e^{2} V_{0}$ のまま、温度を $2 T_{0}$ から $T_{0}$ まで下げる。
$D \to A$ ：温度 $T_{0}$ のまま、体積を $e^{2} V_{0}$ から $V_{0}$ まで圧縮する。

熱の再利用（再生器）は行わず、気体が熱を吸収する過程の熱はすべて外部の熱源から受け取るものとする。この熱機関の効率（1 サイクルで外部にした正味の仕事を、1 サイクルで外部から吸収した熱の総量で割った値）を求めよ。

この問題で使うもの

熱機関のサイクルと熱効率（説明と入口の問題）
定積変化・定圧変化とモル比熱（説明と入口の問題）
等温変化と断熱変化（説明と入口の問題）
熱力学第一法則（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（54 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

各過程で熱力学第 1 法則 $Q = Δ U + W$ を使い、吸熱と放熱を分けて計算しましょう。

ヒント 2

定積過程では $Q = \frac{3}{2} n R Δ T$ 、等温過程では $Q = W = n R T lo g \frac{V _{後}}{V _{前}}$ です。

ヒント 3

吸熱は $A \to B$ で $\frac{3}{2} n R T_{0}$ 、 $B \to C$ で $4 n R T_{0}$ です。正味の仕事は 2 つの等温過程の仕事の和です。

答えと解説

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\frac{4}{11}

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解説を読む

理想気体の内部エネルギーは温度だけの関数で $U = \frac{3}{2} n R T$ 。各過程に熱力学第 1 法則 $Q = Δ U + W$ （ $W$ は気体が外部にする仕事）を使う。

$A \to B$ （定積加熱） $W = 0$ なので
$Q_{AB} = \frac{3}{2} n R (2 T_{0} - T_{0}) = \frac{3}{2} n R T_{0} (吸熱) .$

$B \to C$ （等温膨張） $Δ U = 0$ で、準静的なので
$Q_{BC} = W_{BC} = \int_{V_{0}}^{e^{2} V_{0}} \frac{n R \cdot 2 T _{0}}{V} d V = 2 n R T_{0} lo g e^{2} = 4 n R T_{0} (吸熱) .$

$C \to D$ （定積冷却）
$Q_{CD} = \frac{3}{2} n R (T_{0} - 2 T_{0}) = - \frac{3}{2} n R T_{0} (放熱) .$

$D \to A$ （等温圧縮）
$Q_{DA} = W_{DA} = n R T_{0} lo g \frac{V _{0}}{e ^{2} V _{0}} = - 2 n R T_{0} (放熱) .$

正味の仕事 1 サイクルで $Δ U = 0$ なので、正味の仕事は熱の総和に等しく
$W = Q_{AB} + Q_{BC} + Q_{CD} + Q_{DA} = 4 n R T_{0} - 2 n R T_{0} = 2 n R T_{0} .$

吸収した熱の総量 吸熱するのは $A \to B$ と $B \to C$ で
$Q_{in} = \frac{3}{2} n R T_{0} + 4 n R T_{0} = \frac{11}{2} n R T_{0} .$

効率
$η = \frac{W}{Q _{in}} = \frac{2 n R T _{0}}{\frac{11}{2} n R T _{0}} = \frac{4}{11} .$
（同じ最高温度 $2 T_{0}$ と最低温度 $T_{0}$ の間で動くカルノー機関の効率 $1 - \frac{T _{0}}{2 T _{0}} = \frac{1}{2}$ より小さい。定積加熱の熱を再生器で賄えばカルノー効率に一致する。）

別解

スターリングサイクル。\nA→B（定積昇温）: 吸熱 $Q_{A B} = n C_{V} (2 T_{0} - T_{0}) = \frac{3}{2} n R T_{0}$ 。\nB→C（等温膨張, $2 T_{0}$ ）: 吸熱 $Q_{B C} = n R (2 T_{0}) ln \frac{e ^{2} V _{0}}{V _{0}} = 4 n R T_{0}$ 。\nC→D（定積降温）: 放熱 $\frac{3}{2} n R T_{0}$ 。\nD→A（等温圧縮, $T_{0}$ ）: 放熱 $n R T_{0} ln e^{2} = 2 n R T_{0}$ 。\n正味の仕事 $W = 4 n R T_{0} - 2 n R T_{0} = 2 n R T_{0}$ （定積過程は仕事0）。\n外部から吸収した熱の総量 $Q_{in} = Q_{A B} + Q_{B C} = \frac{3}{2} n R T_{0} + 4 n R T_{0} = \frac{11}{2} n R T_{0}$ （再生器なしなので C→D の放熱は A→B に再利用しない）。\n $η = \frac{W}{Q _{in}} = \frac{2}{11/2} = \frac{4}{11} \approx 0.364.$ \n検算: 放熱 $= \frac{3}{2} + 2 = \frac{7}{2}$ , $Q_{in} - Q_{o u t} = \frac{11}{2} - \frac{7}{2} = 2 = W$ ✓。

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