熱力学

単原子分子理想気体が、圧力 $P_0$、体積 $V_0$ の状態から、関係式
$$P{V}^2=P_0{V}_0^2(\text{一定})$$
を保ちながら準静的に膨張し、体積が $2V_0$ になった（$P_0>0$, $V_0>0$）。単原子分子理想気体の内部エネルギーは $U=\frac{3}{2}PV$ で表されるものとする。この過程で気体が吸収した熱量 $Q$ を $P_0$, $V_0$ を用いて表せ。ただし、気体が熱を放出した場合は $Q$ を負の値で表すものとする。

物質量 $n$ の単原子分子理想気体（比熱比 $\gamma =\frac{5}{3}$）に、次の 4 つの準静的過程からなるカルノーサイクル $\mathrm{A}\to \mathrm{B}\to \mathrm{C}\to \mathrm{D}\to \mathrm{A}$ を行わせる。

• $\mathrm{A}\to \mathrm{B}$: 温度 $T$ の高温熱源に接したまま、体積 $V_0$ から $2V_0$ まで等温膨張する
• $\mathrm{B}\to \mathrm{C}$: 体積 $2V_0$ から $16V_0$ まで断熱膨張する
• $\mathrm{C}\to \mathrm{D}$: 低温熱源に接したまま等温圧縮する
• $\mathrm{D}\to \mathrm{A}$: 断熱圧縮してもとの状態 $\mathrm{A}$ にもどる

気体定数を $R$ とする。このサイクル 1 回で気体が外部にする正味の仕事 $W$ を、$n$, $R$, $T$ を用いて表せ。ただし $\log$ は自然対数とする。

冷凍庫が、内部（絶対温度 $250\mathrm{K}$ に保たれている）から熱を汲み出し、室内（絶対温度 $300\mathrm{K}$ に保たれている）へ熱を捨てる冷凍機としてはたらいている。冷凍庫の内部と室内はどちらも温度が変わらない熱源とみなせるものとする。冷凍機をサイクルとして動かし、冷凍庫の内部から $1000\mathrm{J}$ の熱を汲み出すために外部から冷凍機に加えなければならない仕事の最小値は何 J か。整数で求めよ。

物質量 $n$ の単原子分子理想気体（定積モル比熱 $C_V=\frac{3}{2}R$、$R$ は気体定数）が、温度 $T_0$・体積 $V_0$ の状態から、温度 $2T_0$・体積 $4V_0$ の状態に変化した。この変化による気体のエントロピー変化 $\Delta S$ を、$n$, $R$ を用いて表せ。ただし $\log$ は自然対数とする。

温度 $T_{\mathrm{H}}=900\mathrm{K}$ の高温熱源と温度 $T_{\mathrm{C}}=400\mathrm{K}$ の低温熱源の間で、定常的にはたらく熱機関を考える。作業物質は高温側では一定の温度 $T_1$（$T_{\mathrm{C}}<T_1<T_{\mathrm{H}}$）で熱を受け取り、高温熱源から作業物質へ流れる熱の流量（単位時間あたりの熱量）は
$${\dot{Q}}_{\mathrm{H}}=K(T_{\mathrm{H}}-T_1),K=2W/K$$
で与えられる。低温側の熱の受け渡しは理想的で、作業物質は温度 $T_{\mathrm{C}}$ のまま低温熱源へ熱を捨てるものとする。作業物質は温度 $T_1$ と $T_{\mathrm{C}}$ の間で可逆なカルノーサイクルを行い、熱源の温度は変わらないとする。$T_1$ を調節したときの、この熱機関の出力（単位時間あたりの仕事）の最大値は何 W か。整数で求めよ。

温度によらない一定の熱容量 $C$ をもつ物体（体積変化は無視できる）が、はじめ絶対温度 $T_0$ にある。この物体を、絶対温度 $2T_0$ に保たれた十分大きな熱源に接触させたところ、物体の温度は $2T_0$ になって熱平衡に達した。熱は物体と熱源の間でだけやりとりされ、物体は仕事をしないものとする。この過程での、物体と熱源を合わせた全エントロピー変化 $\Delta S_{\mathrm{total}}$ を $C$ を用いて表せ。ただし $\log$ は自然対数とする。

ある系のヘルムホルツの自由エネルギーが、温度 $T$ と体積 $V$ の関数として
$$F(T,V)=-\frac{a}{3}V{T}^4$$
で与えられている（$a$ は正の定数、$T>0$, $V>0$）。$F=U-TS$ であり、$dF=-SdT-PdV$ が成り立つ。この系の内部エネルギー $U$ を、$a$, $V$, $T$ を用いて表せ。

温度によらない同じ一定の熱容量 $C$ をもつ 2 つの物体 A, B がある（体積変化は無視できる）。はじめ A の絶対温度は $4T_0$、B の絶対温度は $T_0$ である（$C>0$, $T_0>0$）。A を高温熱源、B を低温熱源として熱機関をはたらかせ、2 つの物体が同じ温度になるまで仕事を取り出す。熱機関はサイクルとして動作し、熱は A, B と熱機関の間でだけやりとりされるものとする。取り出せる仕事の最大値 $W_{\max }$ を、$C$, $T_0$ を用いて表せ。

物質量 $n$ の気体が、状態方程式
$$P=\frac{nRT}{V-nb}$$
に従うとする（$R$ は気体定数、$b$ は正の定数で、$V>nb$ の範囲を考える）。この気体を温度 $T$ を一定に保ったまま、体積 $2nb$ から $3nb$ まで準静的に膨張させた。このときの気体のエントロピー変化 $\Delta S$ を、$n$, $R$ を用いて表せ。ただし $\log$ は自然対数とする。

ある液体の蒸気圧 $P$ が、ある温度範囲で絶対温度 $T$ の関数として
$$\log \frac{P}{P_0}=a-\frac{B}{T}$$
と表されることが測定からわかった。ここで $P_0$ は圧力の単位をそろえるための定数、$a$ は定数、$B=5000\mathrm{K}$ である。この温度範囲で、蒸発のモル潜熱 $L$ は一定とみなし、蒸気は理想気体、液体のモル体積は蒸気のモル体積に比べて無視できるものとする。気体定数を $R=8.3J/(\mathrm{mol}\cdot \mathrm{K})$ として、$L$ は何 J/mol か。整数で求めよ。ただし $\log$ は自然対数とする。

物質量 $n$ の気体が、ファン・デル・ワールスの状態方程式
$$P=\frac{nRT}{V-nb}-\frac{a{n}^2}{V^2}$$
に従うとする（$R$ は気体定数、$a$, $b$ は正の定数で、$V>nb$ の範囲を考える）。温度を一定に保ったときの、内部エネルギーの体積による偏微分 ${\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_T$ を、$a$, $n$, $V$ を用いて表せ。

ある金属は、圧力 $1.0\times 10^5\mathrm{Pa}$ のもとで温度 $T=600\mathrm{K}$ で融解する。この融点で、融解のモル潜熱は $L=4.8\times 10^{3}J/mol$、固体のモル体積は $V^{\mathrm{s}}=18.0\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^3/mol$、液体のモル体積は $V^{\mathrm{l}}=18.6\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^3/mol$ である。

この金属にかける圧力を $1.0\times 10^5\mathrm{Pa}$ から $\Delta P=1.0\times 10^7\mathrm{Pa}$ だけ増やす。この圧力の範囲で、融解曲線（固体と液体の共存曲線）の傾き $\frac{dT}{dP}$ は一定とみなし、その値は $T=600\mathrm{K}$ での $L$, $V^{\mathrm{s}}$, $V^{\mathrm{l}}$ を用いてクラウジウス・クラペイロンの式から求めてよいものとする。

融点は何 $\mathrm{K}$ 上昇するか。小数第 2 位まで求めよ。

熱容量 $C$（$C>0$、温度によらない定数）の金属球が、温度 $2T_0$ に熱せられている（$T_0>0$）。この金属球を、温度 $T_0$ に保たれた大きな水槽（熱源とみなせる）の中に入れ、熱平衡に達するまで放置した。

この間の、金属球と水槽を合わせた全体のエントロピー変化 $\Delta S_{\text{total}}$ を $C$ を用いて求めよ。ただし、金属球の体積変化は無視でき、金属球と水槽の間以外の熱のやりとりはないものとする。

温度 $800\mathrm{K}$ の高温熱源、温度 $T_M$ の中間熱源、温度 $200\mathrm{K}$ の低温熱源がある（$200\mathrm{K}<T_M<800\mathrm{K}$）。カルノー機関 A は高温熱源から熱を受け取り、仕事をして、残りの熱を中間熱源に捨てる。カルノー機関 B は、A が中間熱源に捨てた熱をすべて中間熱源から受け取り、仕事をして、残りの熱を低温熱源に捨てる。中間熱源の温度は一定に保たれるものとする。

A と B の熱効率が等しくなるときの $T_M$ を、単位を $\mathrm{K}$ として求めよ。

$n$ mol の単原子分子理想気体（定積モル比熱 $C_V=\frac{3}{2}R$、$R$ は気体定数）を作業物質とするカルノーサイクル $\mathrm{A}\to \mathrm{B}\to \mathrm{C}\to \mathrm{D}\to \mathrm{A}$ を考える。各過程はすべて準静的であり、
- $\mathrm{A}\to \mathrm{B}$: 温度 $T_{\mathrm{H}}$ の高温熱源に接して等温膨張し、体積が $V_0$ から $2V_0$ になる
- $\mathrm{B}\to \mathrm{C}$: 断熱膨張し、体積が $2V_0$ から $16V_0$ になる
- $\mathrm{C}\to \mathrm{D}$: 低温熱源に接して等温圧縮する
- $\mathrm{D}\to \mathrm{A}$: 断熱圧縮して状態 A に戻る

である（$n>0$、$V_0>0$、$T_{\mathrm{H}}>0$）。このサイクル 1 回の間に気体が外部にする正味の仕事 $W$ を、$n,R,T_{\mathrm{H}}$ を用いて求めよ。対数は自然対数 $\log$ で表すこと。

温度 $273\mathrm{K}$ に保たれた冷凍室の中に、温度 $273\mathrm{K}$ の水 $1.00\mathrm{kg}$ がある。この水をすべて温度 $273\mathrm{K}$ の氷にするために、冷凍室から熱を汲み出して温度 $300\mathrm{K}$ の室内に捨てる冷凍機を動かす。冷凍室と室内はどちらも温度が変わらない熱源とみなせ、冷凍機はこの 2 つの熱源の間でだけ熱をやりとりするものとする。水の凝固熱（単位質量あたり）を $334kJ/kg$ とする。

冷凍機がどのような仕組みであっても、この目的のために冷凍機に外部から加えなければならない仕事には最小値がある。その最小値を $\mathrm{kJ}$ 単位で、有効数字 3 桁で求めよ。

ある火力発電所では、温度 $800\mathrm{K}$ の高温の蒸気から熱を受け取り、温度 $300\mathrm{K}$ の川の水に熱を捨てて、定常的に $1.00\times 10^9\mathrm{W}$ の仕率（単位時間あたりの仕事）を取り出している。高温の蒸気と川の水はどちらも温度が変わらない熱源とみなす。この発電所の熱効率は、同じ 2 つの熱源の間で働くカルノー機関の効率の $60.0\%$ であるとする。

この発電所が単位時間あたりに川の水へ捨てる熱量を、$10^9\mathrm{W}$ 単位で、有効数字 3 桁で求めよ。

ある純物質の液体の飽和蒸気圧を測定したところ、温度 $300\mathrm{K}$ で $P_1$、温度 $320\mathrm{K}$ で $2P_1$ であった。

この温度範囲での、この物質の 1 mol あたりの蒸発熱（モル蒸発熱）$L$ を、単位 $J/mol$ で有効数字 3 桁で求めよ。ただし、蒸発熱はこの温度範囲で一定とし、蒸気は理想気体とみなし、液体のモル体積は蒸気のモル体積に比べて無視できるものとする。気体定数を $R=8.31J/(\mathrm{mol}\cdot \mathrm{K})$、$\log 2=0.693$ とする。

なめらかに動くピストンのついた容器の中に、熱平衡にある空洞放射（光子気体）がある。この系の圧力 $P$ は体積 $V$ によらず、絶対温度 $T$ だけで
$$P=\frac{a}{3}{T}^4$$
と表される（$a$ は正の定数）。

容器を温度 $T_0$（$T_0>0$）の熱源に接触させて温度を $T_0$ に保ったまま、体積を $V_0$ から $2V_0$ まで準静的に増やした（$V_0>0$）。この間に系が熱源から吸収した熱を、$a$, $T_0$, $V_0$ を用いて求めよ。

$n$ mol の実在気体があり、その状態方程式が第 2 ビリアル係数までの式
$$P=\frac{nRT}{V}\left(1+\frac{nB(T)}{V}\right),B(T)=b-\frac{c}{T^2}$$
で表されるとする。ここで $P$ は圧力、$V$ は体積、$T$ は絶対温度、$R$ は気体定数、$b$ と $c$ は正の定数である。

この気体の温度を $T$ に保ったまま、体積を $V_0$ から $2V_0$ まで変化させた。このときの気体の内部エネルギーの変化 $\Delta U$ を、$n,R,c,T,V_0$ を用いて表せ。

ただし、考える状態の範囲で上の状態方程式が成り立つものとする。

ある作業物質が準静的なサイクルを行う熱機関を考える。横軸にエントロピー $S$、縦軸に絶対温度 $T$ をとった $T$–$S$ 図上で、このサイクルの経路は、軸が座標軸に平行な楕円である。この楕円上の温度の最大値は $T_{\mathrm{H}}$、最小値は $T_{\mathrm{C}}$ である（$T_{\mathrm{H}}>T_{\mathrm{C}}>0$）。また、エントロピーの最小値は $S_1$、最大値は $S_2$ である（$S_2>S_1$）。作業物質は、$T$–$S$ 図上でこの楕円を時計回りに（温度が最大の点からエントロピーが増える向きに）1 周する。

この熱機関の効率 $\eta$ を、1 サイクルで外部にした正味の仕事 $W$ と、1 サイクルで作業物質が吸収した熱の総量 $Q_{\mathrm{in}}$（熱を吸収する部分だけの和）の比 $\eta =W/Q_{\mathrm{in}}$ と定義する。$\eta$ を $T_{\mathrm{H}}$, $T_{\mathrm{C}}$ を用いて表せ。

$n$ mol の 2 原子分子理想気体（定積モル比熱 $C_V=\frac{5}{2}R$、$R$ は気体定数）が、なめらかに動くピストンのついたシリンダーに入っている。はじめの状態は体積 $V_0$、絶対温度 $T_0$ である（$V_0>0,T_0>0$）。この気体を、圧力 $P$ が体積 $V$ に比例する関係 $P=\alpha V$（$\alpha$ は正の定数）を保ちながら準静的に変化させ、体積を $2V_0$ にした。

この過程で気体が外部から吸収した熱量 $Q$ を、$n,R,T_0$ を用いて表せ。

ある純物質の固相と気相の共存曲線（昇華曲線）は、三重点の温度 $T_{\mathrm{t}}$ 以下の温度範囲で
$$\log \frac{P}{P_0}=a-\frac{b}{T}$$
と表される。ここで $P$ は飽和蒸気圧、$T$ は絶対温度、$P_0$ は圧力の基準値（正の定数）、$a$ は定数、$b$ は正の定数である。三重点における 1 mol あたりの融解熱は $L_{\mathrm{f}}$（$0<L_{\mathrm{f}}<Rb$）である。$R$ は気体定数である。

次の仮定をおく。
- 気相は理想気体とみなせる。
- 固相・液相のモル体積は気相のモル体積に比べて無視できる。
- 1 mol あたりの蒸発熱（液相 $\to$ 気相）は、三重点以上の考える温度範囲で温度によらない一定値である。

このとき、温度 $T$（$T>T_{\mathrm{t}}$）における液相の飽和蒸気圧 $P$ を、$P_0,a,b,L_{\mathrm{f}},R,T_{\mathrm{t}},T$ を用いて表せ。

断熱材でできた剛体の容器が、仕切り板で体積 $V_0$ の部屋 A と体積 $2V_0$ の部屋 B に分けられている（$V_0>0$）。部屋 A には温度 $T_0$ のヘリウム $n$ mol が、部屋 B には温度 $3T_0$ のアルゴン $n$ mol が入っている（$T_0>0$）。どちらの気体も単原子分子理想気体とみなし、定積モル比熱は $C_V=\frac{3}{2}R$（$R$ は気体定数）とする。

仕切り板を静かに取り除くと、2 種類の気体は混ざり合い、やがて容器全体で一様な熱平衡状態に達した。2 種類の気体は化学反応せず、混合後も互いに独立な理想気体としてふるまう（理想混合気体）とする。仕切り板の熱容量と体積、および容器の熱容量は無視する。

この変化の間の、気体全体のエントロピー変化 $\Delta S$ を $n$, $R$ を用いて表せ。

2 つの物体 A, B があり、どちらも体積は一定に保たれ、熱容量は温度 $T$ に比例して $C(T)=aT$（$a$ は正の定数）で与えられる。はじめ A の温度は $T_0$、B の温度は $2T_0$ である（$T_0>0$）。

A を低温側、B を高温側の熱源として、微小なカルノーサイクル（可逆機関）を繰り返し運転し、A と B の温度が等しくなるまで外部に仕事を取り出す。熱機関の作業物質は各サイクルで元の状態に戻り、A, B と熱機関以外との熱のやりとりはないものとする。

このとき外部に取り出される仕事の総量を $W$ とする。$\frac{W}{a{T}_0^2}$ の値を求めよ。

1 mol の気体が状態方程式
$$P(V-b)=RT$$
に従う。ここで $P$ は圧力、$V$ はモル体積、$T$ は絶対温度、$R$ は気体定数、$b$ は正の定数である。この気体の定積モル比熱 $C_V$ は、考える温度・体積の範囲で正の定数であるとする。

この気体のジュール・トムソン係数
$${\mu }_{JT}={\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)}_H$$
（$H$ はモルエンタルピー）を、$b,C_V,R$ を用いて表せ。

断熱材でできたシリンダーに、なめらかに動くピストンで $n$ mol の単原子分子理想気体（定積モル比熱 $C_V=\frac{3}{2}R$、$R$ は気体定数）が閉じ込められている。はじめ、気体は圧力 $P_0$、温度 $T_0$ の平衡状態にあり、ピストンの外側からも圧力 $P_0$ がかかっている。

ある時刻に、ピストンの外側からかかる圧力を急に $2P_0$ に上げ、その後は $2P_0$ のまま一定に保った。気体は圧縮され、やがて圧力 $2P_0$ の新しい平衡状態に達した。この間の気体のエントロピー変化 $\Delta S$ を $n$, $R$ を用いて求めよ。

ただし、シリンダーとピストンの熱容量と、ピストンの質量は無視でき、気体と外部との熱のやりとりはないものとする。$C_V$ は温度によらないとする。

ある純物質の固相と気相が共存する曲線（昇華曲線）と、液相と気相が共存する曲線（蒸気圧曲線）が、三重点の近くでそれぞれ
$$\log \frac{P}{P_{\ast }}=\alpha -\frac{\beta }{T}(\text{昇華曲線}),\log \frac{P}{P_{\ast }}=\gamma -\frac{\delta }{T}(\text{蒸気圧曲線})$$
で表されることが測定からわかっている。ここで $P$ は圧力、$T$ は絶対温度、$P_{\ast }$ は圧力の単位となる正の定数、$\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ は $\alpha >\gamma$, $\beta >\delta >0$ を満たす定数である。

三重点での固相と液相のモル体積をそれぞれ $v_{\mathrm{s}}$, $v_{\mathrm{l}}$（$v_{\mathrm{l}}>v_{\mathrm{s}}>0$）とする。三重点における融解曲線（固相と液相の共存曲線）の傾き $\frac{dP}{dT}$ を、$R$（気体定数）, $\alpha$, $\gamma$, $v_{\mathrm{s}}$, $v_{\mathrm{l}}$ のうち必要なものを用いて求めよ。

ただし、昇華曲線・蒸気圧曲線にクラウジウス・クラペイロンの式を使うときは、固相・液相のモル体積は気相のモル体積に比べて無視でき、気相は理想気体とみなせるものとする。

温度 $T_{\mathrm{H}}$ のボイラー、温度 $T_1$ の室内、温度 $T_0$ の屋外（$T_{\mathrm{H}}>T_1>T_0>0$）があり、これらはどれも温度が変わらない熱源とみなせる。次のような装置で室内を暖房する。

• 可逆なカルノー機関 E が、ボイラーから熱 $Q_{\mathrm{H}}$（$Q_{\mathrm{H}}>0$）を受け取り、仕事 $W$ をして、残りの熱を室内へ捨てる。
• E がした仕事 $W$ のすべてを使って、可逆なカルノーサイクルを逆向きに運転するヒートポンプ P を動かす。P は屋外から熱をくみ上げ、室内へ熱を送る。

E と P が室内へ送る熱の合計を $Q_{\text{room}}$ とするとき、比 $\frac{Q_{\text{room}}}{Q_{\mathrm{H}}}$ を $T_{\mathrm{H}}$, $T_1$, $T_0$ を用いて求めよ。

圧力 $1.0\times 10^5\mathrm{Pa}$ のもとで、氷の融点は $T_0=273.15\mathrm{K}$ である。この温度付近で、水のモル質量を $18.0g/mol$、氷の密度を $0.917g/c{\mathrm{m}}^3$、液体の水の密度を $1.000g/c{\mathrm{m}}^3$、氷の融解熱を $6.01kJ/mol$ とする。

氷と水の共存曲線（融解曲線）の傾き $\frac{dP}{dT}$ は、考える範囲で一定とみなせるとし、その値は温度 $T_0$ におけるクラウジウス・クラペイロンの式で計算する。また、密度と融解熱は圧力・温度によらないとする。

氷の融点を $T_0$ より $2.00\mathrm{K}$ 低くするには、圧力を $1.0\times 10^5\mathrm{Pa}$ からどれだけ増やせばよいか。圧力の増加分を $\mathrm{MPa}$ 単位で、有効数字 2 桁で求めよ。

水は圧力 $P_0=1.013\times 10^5\mathrm{Pa}$ のもとで温度 $T_0=373.15\mathrm{K}$ で沸騰する。ある山の上では大気圧が $0.700P_0$ であった。この山の上で水が沸騰する温度 $T$ を求めたい。

次の近似を用いる。
- 水の蒸発熱（1 mol あたり）は $L=40.7kJ/mol$ で、温度によらない
- 水蒸気は理想気体とみなし、液体の水のモル体積は水蒸気のモル体積に比べて無視できる
- 気体定数は $R=8.31J/(\mathrm{mol}\cdot \mathrm{K})$

$T$ を $\mathrm{K}$ 単位で、有効数字 3 桁で求めよ。必要なら $\log 0.700=-0.3567$ を用いてよい。

1 mol の気体がファンデルワールスの状態方程式
$$\left(P+\frac{a}{V^2}\right)(V-b)=RT$$
に従う。ここで $P$ は圧力、$V$ はモル体積、$T$ は絶対温度、$R$ は気体定数、$a$, $b$ は正の定数である。この気体の定積モル比熱 $C_V$ は、考える温度・体積の範囲で一定の正の定数とする。

断熱材でできた容器が仕切りで 2 つの部屋に分けられており、一方の部屋（体積 $V_0$、$V_0>b$）にこの気体 1 mol が入っていて、もう一方の部屋（体積 $V_0$）は真空である。仕切りを取り除くと、気体は容器全体（体積 $2V_0$）に広がり、やがて熱平衡に達した（自由膨張）。

はじめの温度を $T_{\mathrm{i}}$、熱平衡に達したあとの温度を $T_{\mathrm{f}}$ とするとき、$T_{\mathrm{f}}-T_{\mathrm{i}}$ を $a$, $C_V$, $V_0$ を用いて求めよ。容器の熱容量は無視する。

断熱材でできた体積が変わらない容器が、仕切りで体積 $V$ の 2 つの部屋に分けられている。一方の部屋にはヘリウム $n$ mol が温度 $T_0$ で、もう一方の部屋にはアルゴン $n$ mol が温度 $3T_0$ で入っている（$n>0$, $T_0>0$）。ヘリウムとアルゴンはどちらも単原子分子理想気体（定積モル比熱 $C_V=\frac{3}{2}R$、$R$ は気体定数）とみなし、互いに化学反応しない。

仕切りを取り除くと、2 つの気体は混ざり合い、やがて全体が熱平衡に達した。この過程での、気体全体のエントロピーの変化を、$n$ と $R$ を用いて求めよ。容器と仕切りの熱容量は無視する。

$n$ mol の単原子分子理想気体（定積モル比熱 $C_V=\frac{3}{2}R$、$R$ は気体定数）を作業物質として、次の 4 つの準静的過程からなるサイクル $\mathrm{A}\to \mathrm{B}\to \mathrm{C}\to \mathrm{D}\to \mathrm{A}$ を行う熱機関を考える（$T_0>0$, $V_0>0$）。

• $\mathrm{A}\to \mathrm{B}$：体積 $V_0$ のまま、温度を $T_0$ から $2T_0$ まで上げる。
• $\mathrm{B}\to \mathrm{C}$：温度 $2T_0$ のまま、体積を $V_0$ から $e^2{V}_0$ まで膨張させる（$e$ は自然対数の底）。
• $\mathrm{C}\to \mathrm{D}$：体積 $e^2{V}_0$ のまま、温度を $2T_0$ から $T_0$ まで下げる。
• $\mathrm{D}\to \mathrm{A}$：温度 $T_0$ のまま、体積を $e^2{V}_0$ から $V_0$ まで圧縮する。

熱の再利用（再生器）は行わず、気体が熱を吸収する過程の熱はすべて外部の熱源から受け取るものとする。この熱機関の効率（1 サイクルで外部にした正味の仕事を、1 サイクルで外部から吸収した熱の総量で割った値）を求めよ。

ある純物質の液相と気相が共存する温度範囲を考える。この範囲で、気相は理想気体とみなせ、その定圧モル比熱は $C_P=4R$（$R$ は気体定数）で温度によらない。また、1 mol あたりの蒸発熱（気化熱）は $L$（$L>0$、温度によらない定数）であり、液相のモル体積は気相のモル体積に比べて無視できるものとする。

この物質の気相（液相は含まない）1 mol を、つねにその温度での飽和蒸気（圧力がその温度の飽和蒸気圧に等しい状態）のまま、温度 $T_1$ から温度 $T_2$（$0<T_1<T_2$）まで準静的に変化させる。途中で凝縮は起こらないものとする。

この過程で気体が外部から吸収する熱 $Q$ を、$R$, $L$, $T_1$, $T_2$ を用いて求めよ（気体が熱を放出する場合は $Q<0$ とする）。

水平に固定された断面積 $S$ のシリンダーに、なめらかに動くピストンで $n$ mol の 2 原子分子理想気体（定積モル比熱 $C_V=\frac{5}{2}R$、$R$ は気体定数）が閉じ込められている。シリンダーの外は圧力 $P_0$ の大気で、大気圧は常に一定とする。ピストンの外側には、ばね定数 $k$ のばねの一端が取り付けられ、ばねの他端は壁に固定されている。ピストンが外向きに動くと、ばねは縮んでピストンを内向きに押す。

はじめ、気体は圧力 $P_0$・体積 $V_0$・温度 $T_0$ の平衡状態にあり、ばねは自然長である。ばね定数は $k=\frac{P_0{S}^2}{V_0}$ を満たすとする。この状態から気体をゆっくり（準静的に）加熱し、気体の体積が $2V_0$ になったところで加熱をやめた。

この過程で気体に与えた熱量 $Q$ のうち、ばねの弾性エネルギーとして蓄えられたエネルギー $U_{\mathrm{s}}$ の割合 $\frac{U_{\mathrm{s}}}{Q}$ を、既約分数で求めよ。ただし、シリンダー・ピストン・ばねの熱容量、ピストンとシリンダーの間の摩擦、ばねの質量は無視し、シリンダーとピストンを通しての熱の出入りは加熱による分だけとする。

ある純物質の三重点の近くで、固相と気相が共存する曲線（昇華曲線）と、液相と気相が共存する曲線（蒸気圧曲線）が、それぞれ次の式で表されるとする。
$$\log \frac{P}{P_0}=a_{\mathrm{s}}-\frac{b_{\mathrm{s}}}{T}(\text{昇華曲線}),\log \frac{P}{P_0}=a_{\mathrm{l}}-\frac{b_{\mathrm{l}}}{T}(\text{蒸気圧曲線})$$
ここで $P$ は共存する圧力、$T$ は絶対温度、$P_0$ は基準の圧力（正の定数）である。$a_{\mathrm{s}},a_{\mathrm{l}},b_{\mathrm{s}},b_{\mathrm{l}}$ は定数で、$a_{\mathrm{s}}>a_{\mathrm{l}}$、$b_{\mathrm{s}}>b_{\mathrm{l}}>0$ を満たす。

この物質のモル質量を $M$、三重点における固相の密度を ${\rho }_{\mathrm{s}}$、液相の密度を ${\rho }_{\mathrm{l}}$（${\rho }_{\mathrm{s}}>{\rho }_{\mathrm{l}}>0$）、気体定数を $R$ とする。気相は理想気体とみなし、気相のモル体積に比べて固相・液相のモル体積は無視できるものとする（昇華曲線・蒸気圧曲線を扱うときのみ）。また、三重点の近くで昇華熱と蒸発熱は温度によらないとする。

このとき、三重点における固相と液相が共存する曲線（融解曲線）の傾き $\frac{dP}{dT}$ を、$a_{\mathrm{s}},a_{\mathrm{l}},M,{\rho }_{\mathrm{s}},{\rho }_{\mathrm{l}},R$ を用いて表せ（SI 単位系で考える）。

低温の結晶性固体の熱容量は、考える温度範囲で $$C(T)=a{T}^3$$ と表されるとする（デバイの $T^3$ 則）。ここで $T$ は絶対温度、$a$ は正の定数である。固体の体積変化は無視する。

はじめ温度 $T_0$（$T_0>0$）の熱平衡状態にあるこの固体を、温度 $2T_0$ に保たれた熱源（熱容量が十分大きく、温度が変わらないとみなせる）に接触させた。固体と熱源の間だけで熱がやりとりされ、やがて固体は温度 $2T_0$ の熱平衡状態に達した。$T_0$ から $2T_0$ までの温度範囲で、上の熱容量の式が成り立つものとする。

この過程での、固体と熱源を合わせた系全体のエントロピー変化を、$a$, $T_0$ を用いて表せ。

温度 $T_{\mathrm{H}}$ の高温熱源と温度 $T_{\mathrm{C}}$ の低温熱源（$T_{\mathrm{H}}>T_{\mathrm{C}}>0$）の間で、定常的に動作する熱機関を考える。熱機関の作業物質は、高温側では温度 $T_1$、低温側では温度 $T_2$ の状態で熱をやりとりし、作業物質の内部では温度 $T_1$ と $T_2$ の間で可逆なカルノーサイクルを行うとする（$T_{\mathrm{H}}>T_1>T_2>T_{\mathrm{C}}$）。

熱源と作業物質の間の熱の流れは有限の熱コンダクタンスで決まり、単位時間あたりに高温熱源から作業物質へ流れる熱は ${\dot{Q}}_{\mathrm{H}}=K_{\mathrm{H}}(T_{\mathrm{H}}-T_1)$、作業物質から低温熱源へ流れる熱は ${\dot{Q}}_{\mathrm{C}}=K_{\mathrm{C}}(T_2-T_{\mathrm{C}})$ である（$K_{\mathrm{H}}$, $K_{\mathrm{C}}$ は正の定数）。熱源の温度は変化せず、熱機関は定常状態にあるものとする。

$T_1$, $T_2$ を上の条件のもとで自由に選べるとき、熱機関の出力（単位時間あたりにする仕事）$\mathcal{P}={\dot{Q}}_{\mathrm{H}}-{\dot{Q}}_{\mathrm{C}}$ の最大値を $K_{\mathrm{H}}$, $K_{\mathrm{C}}$, $T_{\mathrm{H}}$, $T_{\mathrm{C}}$ を用いて求めよ。

ある純物質の液相と気相が共存する曲線（蒸気圧曲線）が、考える温度範囲で
$$\log \frac{P}{P_{\ast }}=-\frac{B}{T}-k\log \frac{T}{T_{\ast }}$$
で表されるとする。ここで $P$ は飽和蒸気圧、$T$ は絶対温度、$P_{\ast },T_{\ast },B,k$ は正の定数である。次の近似を用いる。
- 気相は理想気体とみなし、その定圧モル比熱は $C_P^{\mathrm{g}}=4R$（$R$ は気体定数）で温度・圧力によらない
- 液相のモル体積は気相のモル体積に比べて無視できる

蒸気圧曲線に沿って（つねに飽和状態を保ちながら）気相 1 mol の温度を準静的に変えるとき、気相が吸収する熱を $\delta Q$ として、飽和蒸気のモル比熱を $C_{\sigma }=\frac{\delta Q}{dT}$ と定義する。$C_{\sigma }=0$ となる温度 $T$ を、$B$ と $k$ を用いて求めよ。ただし、その温度は上の式が成り立つ範囲にあるものとする。

$n$ mol の単原子分子理想気体（定積モル比熱 $C_V=\frac{3}{2}R$、$R$ は気体定数）を、圧力 $3P_0$・体積 $V_0$ の状態 $\mathrm{A}$ から、圧力 $P_0$・体積 $3V_0$ の状態 $\mathrm{B}$ まで、$P$-$V$ 図上で $\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ を結ぶ線分にそって準静的に変化させた（$P_0>0$, $V_0>0$）。

この過程の途中で、気体は外部から熱を吸収する部分と、外部へ熱を放出する部分がある。$\mathrm{A}\to \mathrm{B}$ の過程全体で、気体が外部から吸収した熱の総量（放出した熱を差し引かない量）を、$P_0$, $V_0$ を用いて求めよ。