熱力学の問題

物質量 $n$ の気体が、状態方程式
$$P=\frac{nRT}{V-nb}$$
に従うとする（$R$ は気体定数、$b$ は正の定数で、$V>nb$ の範囲を考える）。この気体を温度 $T$ を一定に保ったまま、体積 $2nb$ から $3nb$ まで準静的に膨張させた。このときの気体のエントロピー変化 $\Delta S$ を、$n$, $R$ を用いて表せ。ただし $\log$ は自然対数とする。

$n$ mol の実在気体があり、その状態方程式が第 2 ビリアル係数までの式
$$P=\frac{nRT}{V}\left(1+\frac{nB(T)}{V}\right),B(T)=b-\frac{c}{T^2}$$
で表されるとする。ここで $P$ は圧力、$V$ は体積、$T$ は絶対温度、$R$ は気体定数、$b$ と $c$ は正の定数である。

この気体の温度を $T$ に保ったまま、体積を $V_0$ から $2V_0$ まで変化させた。このときの気体の内部エネルギーの変化 $\Delta U$ を、$n,R,c,T,V_0$ を用いて表せ。

ただし、考える状態の範囲で上の状態方程式が成り立つものとする。

ある系のヘルムホルツの自由エネルギーが、温度 $T$ と体積 $V$ の関数として
$$F(T,V)=-\frac{a}{3}V{T}^4$$
で与えられている（$a$ は正の定数、$T>0$, $V>0$）。$F=U-TS$ であり、$dF=-SdT-PdV$ が成り立つ。この系の内部エネルギー $U$ を、$a$, $V$, $T$ を用いて表せ。

物質量 $n$ の単原子分子理想気体（定積モル比熱 $C_V=\frac{3}{2}R$、$R$ は気体定数）が、温度 $T_0$・体積 $V_0$ の状態から、温度 $2T_0$・体積 $4V_0$ の状態に変化した。この変化による気体のエントロピー変化 $\Delta S$ を、$n$, $R$ を用いて表せ。ただし $\log$ は自然対数とする。

単原子分子理想気体が、圧力 $P_0$、体積 $V_0$ の状態から、関係式
$$P{V}^2=P_0{V}_0^2(\text{一定})$$
を保ちながら準静的に膨張し、体積が $2V_0$ になった（$P_0>0$, $V_0>0$）。単原子分子理想気体の内部エネルギーは $U=\frac{3}{2}PV$ で表されるものとする。この過程で気体が吸収した熱量 $Q$ を $P_0$, $V_0$ を用いて表せ。ただし、気体が熱を放出した場合は $Q$ を負の値で表すものとする。