熱力学第一法則

内部エネルギーの変化が、気体が吸収した熱量と外部からされた仕事の和 $Δ U = Q + W$ に等しいことを使い、熱・仕事・内部エネルギーの増減を述べた文の正誤を判定できる

前提

気体分子運動論（高校物理熱と気体（知識））

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気体分子運動論（高校物理熱と気体（知識））

説明

熱力学第一法則は、気体の内部エネルギーの変化 $Δ U$ が、気体が吸収した熱量 $Q$ と気体が外部からされた仕事 $W$ の和に等しい、つまり $Δ U = Q + W$ であるという法則です。これを使うと、気体を圧縮・膨張させたり加熱・冷却したりしたときに、熱・仕事・内部エネルギー（理想気体なら温度）がそれぞれ増えるか減るかを判断できます。「断熱圧縮すると温度はどうなるか」「等温変化で吸収した熱はどこへ行くか」といった文の正誤判定に使います。

なぜそうしてよいのか

気体の内部エネルギーは、気体分子の熱運動のエネルギーの総和です。前提の気体分子運動論で学んだとおり、理想気体では分子 1 個の平均運動エネルギーが $\frac{3}{2} k T$ なので、内部エネルギーは絶対温度 $T$ だけで決まります。温度が上がれば内部エネルギーは増え、温度が変わらなければ内部エネルギーも変わりません。

内部エネルギーを変える方法は 2 つあります。1 つは熱です。高温の物体に触れると、激しく動く壁の分子が気体分子をはじき、分子の運動エネルギーが増えます。これが熱を吸収する（ $Q > 0$ ）ということです。もう 1 つは仕事です。ピストンを押し込むと、内向きに動くピストンに当たった分子は、動いているバットに当たったボールのように速くなってはね返ります。これが外部から正の仕事をされる（ $W > 0$ ）ということです。逆に、気体がピストンを外向きに押して（外部の圧力に逆らって）動かすと、遠ざかるピストンに当たった分子は遅くなってはね返ります。気体が外部に仕事をしてエネルギーを渡したので $W < 0$ です。大事なのは、 $W$ の符号は「体積が増えたか減ったか」そのものではなく、「気体が外部に力を及ぼして動かし、仕事をしたか（されたか）」で決まることです。たとえば、仕切りの向こうが真空の容器で仕切りを外すと気体は広がりますが（自由膨張）、押し返す相手がいないので分子は減速せず、気体は仕事をしません。このとき体積が増えても $W = 0$ です。

エネルギーは勝手に生まれたり消えたりしないので、入ってきた熱と仕事の合計がそのまま内部エネルギーの増加になります。これが $Δ U = Q + W$ です。気体が外部にする仕事を $W^{'}$ とすると $W^{'} = - W$ なので、 $Q = Δ U + W^{'}$ （吸収した熱は、内部エネルギーの増加と外部への仕事に分かれる）とも書けます。なお、圧力 $p$ の気体が断面積 $S$ のピストンを一定の圧力のまま $Δ x$ だけ押し出せば、気体がする仕事は（力 $pS$ ）×（距離 $Δ x$ ） $= p Δ V$ です。

手順

熱 $Q$ の符号を決める：熱を吸収するなら $Q > 0$ 、放出するなら $Q < 0$ 、断熱（熱の出入りなし）なら $Q = 0$
仕事 $W$ （外部からされた仕事）の符号を決める：ピストンなどに押されて圧縮されるなら $W > 0$ 、気体がピストンなどを外向きに押して（外部の圧力に逆らって）膨張するなら $W < 0$ 、体積一定なら $W = 0$ 。真空への自由膨張では、体積が増えても押す相手がないので $W = 0$ 。気体が外部にする仕事は $W^{'} = - W$
$Δ U = Q + W$ に当てはめ、内部エネルギーの変化 $Δ U$ が正・負・0 のどれかを判断する（または $Q = Δ U + W^{'}$ の形で、熱の行き先を考える）
理想気体では $Δ U$ と温度を対応させる： $Δ U > 0$ なら温度上昇、 $Δ U < 0$ なら温度低下、 $Δ U = 0$ なら温度は変わらない（等温変化なら $Δ U = 0$ ）
得られた結論を、判定する文の内容と照らし合わせて正誤を決める

例題

シリンダーとなめらかに動くピストンに閉じこめた一定量の理想気体の状態変化について述べた文として正しいものを、次のア〜エのうちから 1 つ選べ。
ア気体を断熱的に圧縮すると、気体の温度は下がる。
イ気体がピストンを押しながら等温で膨張するとき、気体が吸収した熱量は、気体が外部にした仕事に等しい。
ウピストンを固定して体積を一定に保ち、気体に熱を加えると、加えた熱量の一部は気体が外部にする仕事に使われる。
エ気体が熱を吸収すれば、気体の内部エネルギーは必ず増加する。

例題の解答

ア：手順1 断熱なので $Q = 0$ 。手順2 ピストンに押されて圧縮されるので $W > 0$ 。手順3 $Δ U = Q + W = W > 0$ 。手順4 内部エネルギーが増えるので温度は上がる。「下がる」は誤り。
イ：手順4 等温なので $Δ U = 0$ 。手順2 気体はピストンを押して膨張するので、外部に仕事 $W^{'} > 0$ をする（ $W = - W^{'} < 0$ ）。手順3 $Δ U = Q + W$ より $0 = Q - W^{'}$ 、よって $Q = W^{'}$ 。吸収した熱量と外部にした仕事は等しいので正しい。
ウ：手順2 ピストンが固定され体積一定なので $W = 0$ 、外部への仕事も 0。手順3 $Δ U = Q$ で、加えた熱はすべて内部エネルギーの増加になる。誤り。
エ：手順1 吸熱で $Q > 0$ でも、手順2 気体がピストンを押して膨張し、外部に $Q$ より大きい仕事 $W^{'}$ をすれば $W = - W^{'}$ で $∣ W ∣ > Q$ 。手順3 このとき $Δ U = Q + W < 0$ となり内部エネルギーは減る。「必ず増加」は誤り。
手順5 以上より、正しいのはイ。

答え:

イ

よくある誤り

$W$ を「気体が外部にした仕事」と取り違え、気体がピストンを押して膨張するときに $Δ U = Q + W$ の $W$ を正としてしまう誤り。正しくは、 $Δ U = Q + W$ の $W$ は外部から気体がされた仕事で、気体が外部の圧力に逆らって膨張するなら $W < 0$ 。気体がした仕事 $W^{'}$ を使うなら $Δ U = Q - W^{'}$ と書く。
「体積が増えれば必ず $W < 0$ 」としてしまう誤り。正しくは、 $W$ の符号は気体が外部に仕事をするかどうかで決まる。真空への自由膨張では押す相手がないので体積が増えても $W = 0$ で、断熱なら $Δ U = Q + W = 0$ 、理想気体なら温度は変わらない。
断熱変化を「温度が変わらない変化」と思ってしまう誤り。正しくは断熱は $Q = 0$ という意味で $Δ U = W$ となる。ピストンに押される断熱圧縮（ $W > 0$ ）では温度が上がり、気体がピストンを押す断熱膨張（ $W < 0$ ）では温度が下がる。温度が一定なのは等温変化（ $Δ U = 0$ ）。
熱を吸収すれば温度は必ず上がると考えてしまう誤り。正しくは $Δ U = Q + W$ なので、 $Q > 0$ でも気体がピストンを押して膨張し $W < 0$ ならば $Δ U$ は 0 や負にもなりうる（等温膨張では $Q > 0$ でも $Δ U = 0$ ）。体積一定なら $W = 0$ なので $Δ U = Q$ となり、加えた熱はすべて内部エネルギーの増加になる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
なめらかに動くピストンのついたシリンダーに一定量の理想気体を閉じこめ、気体の温度を一定に保ったまま、ゆっくり膨張させた。気体が吸収した熱量を $Q$ 、気体が外部からされた仕事を $W$ 、気体の内部エネルギーの変化を $Δ U$ とすると、熱力学第一法則 $Δ U = Q + W$ が成り立つ。このときの気体の変化について述べた文として正しいものを、次のア〜エのうちから 1 つ選べ。
- ア　気体の内部エネルギーは増加する。
- イ　気体が吸収した熱量は、気体が外部にした仕事に等しい。
- ウ　気体は外部に仕事をするので、外部から熱を吸収しない。
- エ　気体が外部からされた仕事 $W$ は正である。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

定積・定圧・等温・断熱変化（高校物理熱と気体（知識））
熱機関と熱効率（高校物理熱と気体（知識））