気体分子運動論

気体の圧力が分子の壁への衝突によること、分子の平均運動エネルギー $\frac{1}{2} m v^{2} = \frac{3}{2} k T$ が絶対温度に比例し分子の種類によらないこと、ボルツマン定数 $k = R / N_{A}$ 、理想気体の内部エネルギーが温度だけで決まることを判定・答えられる

前提

ボイル・シャルルの法則と理想気体（高校物理熱と気体（知識））

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説明

気体分子運動論は、気体を「たくさんの分子が飛び回っている集まり」とみて、圧力や温度の意味を分子の運動で説明する考え方です。これを学ぶと、次のことを判定できるようになります。気体の圧力は分子が壁に衝突して生じること。分子1個の平均運動エネルギーは絶対温度に比例し、分子の種類によらないこと。ボルツマン定数は $k = R / N_{A}$ であること。理想気体の内部エネルギーは温度だけで決まること。気体の性質についての正誤問題や、温度と分子の速さの関係を問う問題で使います。

なぜそうしてよいのか

まず、理想気体を次のように単純にしたモデルで考えます。(1) 分子の大きさは無視でき、分子どうしの衝突も考えない。つまり分子は壁に当たるまで直進する。(2) 分子間力ははたらかず、重力も無視する。(3) 分子は壁と弾性衝突する。つまり、はね返る前後で速さが変わらない。(4) 分子は乱雑に動き、特定の向きにかたよらない。
一辺 $L$ の立方体の容器に、質量 $m$ の分子が $N$ 個入っているとします。1個の分子の速度の $x$ 成分の大きさを $v_{x}$ とします。 $x$ 軸に垂直な壁Aに当たるたびに、速度の $x$ 成分は向きが逆になり、運動量（質量×速度）は $2 m v_{x}$ 変化します。その反作用として、壁Aは分子から大きさ $2 m v_{x}$ の力積（力×時間）を受けます。ほかの壁に当たっても $x$ 成分の大きさは $v_{x}$ のままです。そのため、この分子は $x$ 方向に往復 $2 L$ 進むごとに壁Aに1回当たります。時間 $t$ の間の衝突回数は $\frac{v _{x} t}{2 L}$ 回なので、壁Aが受ける平均の力は $2 m v_{x} \times \frac{v _{x}}{2 L} = \frac{m v _{x}^{2}}{L}$ です。 $N$ 個分を足し合わせ、 $v_{x}^{2}$ の平均を $v_{x}^{2}$ と書きます。力を壁の面積 $L^{2}$ で割ると、圧力は $p = \frac{N m v _{x}^{2}}{L ^{3}}$ となります。仮定(4)より $v_{x}^{2} = v_{y}^{2} = v_{z}^{2}$ なので、 $v^{2} = 3 v_{x}^{2}$ です。 $V = L^{3}$ を使うと $p V = \frac{1}{3} N m v^{2}$ が得られます。つまり気体の圧力は、多数の分子が壁に衝突して与える力積によって生じます。

これを前提の技能の状態方程式 $p V = n R T$ と比べます。分子数は $N = n N_{A}$ （ $N_{A}$ はアボガドロ定数）なので、 $\frac{1}{3} n N_{A} m v^{2} = n R T$ より $\frac{1}{2} m v^{2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{R}{N _{A}} T = \frac{3}{2} k T$ となります。ここで $k = \frac{R}{N _{A}} \approx 1.38 \times 1 0^{- 23} J/K$ をボルツマン定数といい、「分子1個あたりの気体定数」にあたります。左辺は、分子が全体として移動する運動（並進運動）の運動エネルギーの平均です。右辺には質量 $m$ も気体の種類も入っていません。したがって、同じ温度なら、どんな気体でも分子1個の平均の並進運動エネルギーは等しくなります。これが「絶対温度は分子の熱運動の激しさを表す」ことの中身です。
また、 $v^{2}$ は分子の速さの2乗の平均です。その平方根 $v^{2}$ を2乗平均速度といい、分子の速さの目安として使います。上の式を変形すると $v^{2} = \frac{3 k T}{m}$ です。

内部エネルギーは、気体分子の運動エネルギーと、分子間の位置エネルギーの総和です。理想気体では分子間力がないので位置エネルギーはなく、内部エネルギーは分子の運動エネルギーだけの和になります。単原子分子（He、Ar など）は並進運動だけなので、 $U = N \cdot \frac{3}{2} k T = \frac{3}{2} n R T$ です。二原子分子（ $N_{2}$ 、 $O_{2}$ など）では、分子が回転する運動エネルギーも加わるので、 $U$ は $\frac{3}{2} n R T$ より大きくなります（常温ではおよそ $\frac{5}{2} n R T$ ）。ただし、衝突のたびに並進と回転のエネルギーがやりとりされるため、回転のエネルギーも温度に応じた大きさに落ち着きます。しかも分子どうしの距離（体積）には関係しません。そのため、どの理想気体でも、物質量が一定なら内部エネルギーは体積や圧力によらず温度だけで決まります。

手順

圧力の原因を確認する：気体の圧力は、分子が壁に衝突して与える力積によって生じる。理想気体のモデル（分子の大きさ無視・分子間力なし・壁と弾性衝突・向きのかたよりなし）から $p V = \frac{1}{3} N m v^{2}$ となる。
平均運動エネルギーを温度で表す： $\frac{1}{2} m v^{2} = \frac{3}{2} k T$ 。絶対温度 $T$ に比例し、分子の種類（質量）によらない。
速さを問われたら2乗平均速度 $v^{2}$ （速さの2乗の平均の平方根）を使う： $v^{2} = \frac{3 k T}{m}$ 。 $T$ に比例し、 $m$ に反比例する。
定数の関係を確認する：ボルツマン定数は $k = \frac{R}{N _{A}}$ 。1 mol あたりの $R$ を、分子1個あたりにしたものである。
内部エネルギーを判定する：理想気体は分子間の位置エネルギーがないので、内部エネルギーは温度だけで決まる。単原子分子なら $U = \frac{3}{2} n R T$ （二原子分子は回転の分だけ大きい）。
選択肢の文を、上の関係と1つずつ照らし合わせて正誤を決める。

例題

気体分子運動論に関する記述として正しいものを、次のア〜エのうちから1つ選べ。ただし、気体はすべて単原子分子の理想気体とする。
ア　気体の圧力は、容器の中で分子どうしが衝突し合うことによって生じる。
イ　同じ温度では、分子の質量が大きい気体ほど、分子1個あたりの平均運動エネルギーが大きい。
ウ　気体の絶対温度を2倍にすると、分子の2乗平均速度 $v^{2}$ も2倍になる。
エ　一定量の気体の内部エネルギーは、体積や圧力によらず、絶対温度だけで決まる。

例題の解答

手順1より、圧力は分子が「壁」に衝突して与える力積によって生じる。分子どうしの衝突によるものではないので、アは誤り。
手順2より、 $\frac{1}{2} m v^{2} = \frac{3}{2} k T$ で、右辺に質量 $m$ は含まれない。同じ温度なら、平均運動エネルギーは分子の種類によらず等しいので、イは誤り。重い分子は速さが小さくなることで、運動エネルギーが同じになる。
手順3より、2乗平均速度は $v^{2} = \frac{3 k T}{m}$ で、 $T$ に比例する。 $T$ を2倍にすると $2$ 倍になり、2倍ではないので、ウは誤り。
手順5より、単原子分子の理想気体では、内部エネルギーは分子の並進運動エネルギーの和 $U = \frac{3}{2} n R T$ である。物質量 $n$ が一定なら $T$ だけで決まり、体積や圧力によらないので、エは正しい。
手順6より、正しいものはエ。

答え:

エ

よくある誤り

重い分子ほど平均運動エネルギーが大きいとしてしまう誤り。正しくは $\frac{1}{2} m v^{2} = \frac{3}{2} k T$ で、同じ温度なら分子の種類によらず等しい。重い分子ほど小さくなるのは速さの方で、 $v^{2} = \frac{3 k T}{m}$ である。
絶対温度を2倍にすると2乗平均速度も2倍になるとしてしまう誤り。正しくは、2倍になるのは $v^{2}$ （平均運動エネルギー）で、2乗平均速度 $v^{2}$ は $2$ 倍になる。また、温度はセルシウス温度ではなく絶対温度 $T [K]$ で考える。 $27^{\circ} C$ （300 K）を $54^{\circ} C$ （327 K）にしても、絶対温度は2倍にならない。
気体定数 $R$ とボルツマン定数 $k$ を取り違える誤り。 $R \approx 8.31 J/ (mol \cdot K)$ は 1 mol あたり、 $k = \frac{R}{N _{A}} \approx 1.38 \times 1 0^{- 23} J/K$ は分子1個あたりの定数である。分子1個の平均の並進運動エネルギーは $\frac{3}{2} k T$ 、単原子分子 1 mol 分の内部エネルギーは $\frac{3}{2} R T$ となる。
理想気体の内部エネルギーは体積や圧力を変えると変わる、としてしまう誤り。正しくは、分子間の位置エネルギーがないので、物質量が一定なら温度だけで決まる。また、どの気体でも $U = \frac{3}{2} n R T$ としてしまう誤りにも注意する。この式は単原子分子の場合で、二原子分子では回転のエネルギーが加わり、常温でおよそ $\frac{5}{2} n R T$ になる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
容器に閉じこめた一定量の単原子分子の理想気体について述べた次の文中の空欄 a・b に入る語句の組み合わせとして正しいものを、下のア〜エのうちから 1 つ選べ。
「気体の圧力は、気体分子が　a　に衝突してはね返るときに及ぼす力によって生じる。また、分子 1 個あたりの運動エネルギーの平均値は絶対温度に比例するので、この気体の内部エネルギーは　b　だけで決まる。」
a b
ア容器の壁温度
イ容器の壁体積
ウほかの気体分子温度
エほかの気体分子体積

	a	b
ア	容器の壁	温度
イ	容器の壁	体積
ウ	ほかの気体分子	温度
エ	ほかの気体分子	体積

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

熱力学第一法則（高校物理熱と気体（知識））
熱運動と分子の速さの分布（高校化学物質の状態と気体（知識））