定積・定圧・等温・断熱変化

定積（仕事 0）・定圧・等温（ $Δ U = 0$ ）・断熱（ $Q = 0$ ）の各変化で、熱・仕事・内部エネルギー・温度がどう増減するか（断熱膨張で温度が下がる、断熱圧縮で上がるなど）を判定できる

前提

熱力学第一法則（高校物理熱と気体（知識））

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熱力学第一法則（高校物理熱と気体（知識））

説明

理想気体の 4 つの状態変化について、熱・仕事・内部エネルギー・温度がそれぞれ増えるか減るかを判定できるようになります。4 つとは、体積が一定の「定積変化」、圧力が一定の「定圧変化」、温度が一定の「等温変化」、外部と熱のやりとりがない「断熱変化」です。定積・等温・断熱では、熱力学第一法則 $Δ U = Q + W$ に現れる量のどれか 1 つが 0 になるので、残りの量の関係がすぐに決まります。定圧では、状態方程式 $p V = n R T$ を組み合わせて判定します。法則や現象の正誤を問う選択問題でよく使います。

なぜそうしてよいのか

出発点は熱力学第一法則 $Δ U = Q + W$ です。 $Q$ は気体が吸収した熱量、 $W$ は気体が外部からされた仕事です。気体分子運動論によると、理想気体の内部エネルギーは分子の運動エネルギーの合計なので、絶対温度だけで決まり、温度が高いほど大きくなります（単原子分子なら $U = \frac{3}{2} n R T$ ）。そのため $Δ U$ と温度変化 $Δ T$ はいつも同じ符号です。 $Δ U > 0$ なら温度が上がり、 $Δ U = 0$ なら温度は変わりません。

仕事の符号は体積の変化で決まります。気体が膨張するときは、気体が外部を押して正の仕事をするので、外部からされた仕事は $W < 0$ です。圧縮されるときは $W > 0$ です。圧力 $p$ が一定なら、気体がする仕事は $p Δ V$ なので $W = - p Δ V$ です。これを使うと、各変化の関係が決まります。定積変化では体積が変わらないので $W = 0$ となり、 $Δ U = Q$ です。等温変化では温度が一定なので $Δ U = 0$ となり、 $Q = - W$ です。断熱変化では $Q = 0$ なので $Δ U = W$ です。たとえば断熱膨張では $W < 0$ なので $Δ U < 0$ となり、温度が下がります。断熱圧縮では逆に温度が上がります。

定圧変化では、0 になる量がありません。代わりに状態方程式 $p V = n R T$ を使います。 $p$ が一定なら、変化の前後の差をとって $p Δ V = n R Δ T$ です。これを第一法則に入れると、 $Q = Δ U - W = Δ U + p Δ V = Δ U + n R Δ T$ となります。 $Δ U$ も $n R Δ T$ も $Δ T$ と同じ符号なので、 $Q$ も $Δ T$ と同じ符号です。したがって、定圧で熱を加える（ $Q > 0$ ）と必ず温度が上がり（ $Δ T > 0$ ）、同時に体積も増えます（ $Δ V > 0$ ）。吸収した熱は、内部エネルギーの増加 $Δ U$ と外部への仕事 $p Δ V (> 0)$ に分かれるので、 $Q > Δ U$ です。

手順

変化の種類から 0 になる量を決める：定積なら $W = 0$ 、等温なら $Δ U = 0$ 、断熱なら $Q = 0$ （定圧では 0 になる量はないので手順5を使う）
体積の増減から $W$ （外部からされた仕事）の符号を決める：膨張なら $W < 0$ 、圧縮なら $W > 0$ 、体積一定なら $W = 0$ 。定圧なら $W = - p Δ V$
$Δ U = Q + W$ に代入して、残りの量の符号を決める（例：定積なら $Δ U = Q$ 、断熱なら $Δ U = W$ 、等温なら $Q = - W$ ）
$Δ U$ の符号から温度の増減を判定する： $Δ U > 0$ なら温度上昇、 $Δ U < 0$ なら温度低下、 $Δ U = 0$ なら温度一定（ $Δ U$ と $Δ T$ は同符号）
定圧変化では $p V = n R T$ から $p Δ V = n R Δ T$ を使い、 $Q = Δ U + n R Δ T$ と書く。 $Q$ ・ $Δ T$ ・ $Δ V$ ・ $Δ U$ はすべて同じ符号になるので、 $Q > 0$ なら温度上昇・膨張で $Q > Δ U$

例題

一定量の理想気体の状態変化について述べた文として正しいものを、次のア〜エのうちから 1 つ選べ。ただし、気体が吸収した熱量を $Q$ 、外部からされた仕事を $W$ 、内部エネルギーの変化を $Δ U$ とすると、 $Δ U = Q + W$ が成り立つ。
ア　定積変化で気体を加熱すると、気体は外部に正の仕事をする。
イ　等温膨張では、気体は外部から熱を吸収しない。
ウ　断熱膨張では、気体の温度は下がる。
エ　定圧変化で気体を加熱すると、吸収した熱量はすべて内部エネルギーの増加になる。

例題の解答

ア：手順1より、定積変化では体積が変わらないので $W = 0$ です。気体は仕事をしないので誤りです（手順3より $Δ U = Q$ で、加えた熱はすべて内部エネルギーの増加になります）。
イ：手順1より、等温変化では $Δ U = 0$ です。手順2より、膨張なので $W < 0$ です。手順3より $Q = - W > 0$ となり、気体は熱を吸収します。よって誤りです。
ウ：手順1より、断熱変化では $Q = 0$ です。手順2より、膨張なので $W < 0$ です。手順3より $Δ U = W < 0$ です。手順4より、 $Δ U < 0$ なので温度は下がります。よって正しいです。
エ：手順1より、定圧変化では 0 になる量はないので手順5を使います。 $p$ が一定なので $p V = n R T$ から $p Δ V = n R Δ T$ です。手順2より $W = - p Δ V$ なので、 $Q = Δ U - W = Δ U + n R Δ T$ です。手順4より $Δ U$ と $Δ T$ は同符号なので、加熱して $Q > 0$ なら $Δ T > 0$ 、つまり温度が上がります。すると $p Δ V = n R Δ T > 0$ で体積が増え、 $Q = Δ U + p Δ V > Δ U$ となります。熱の一部は外部への仕事に使われるので、誤りです。（別の見方：もし熱がすべて $Δ U$ になるなら、 $W = 0$ で体積は変わりません。一方、 $Δ U = Q > 0$ で温度が上がるので、圧力一定なら $p V = n R T$ より体積が増えるはずです。これは矛盾します。）
以上より、正しいのはウです。

答え:

ウ

よくある誤り

等温変化では温度が変わらないので、熱の出入りもないとしてしまう誤り。正しくは、 $Δ U = 0$ から $Q = - W$ です。等温膨張では $W < 0$ なので $Q > 0$ となり、気体は吸収した熱と同じだけの仕事を外部にします。
断熱変化では熱が出入りしないので、温度も変わらないとしてしまう誤り。正しくは、 $Q = 0$ から $Δ U = W$ です。断熱膨張（ $W < 0$ ）では温度が下がり、断熱圧縮（ $W > 0$ ）では温度が上がります。
$W$ を「気体がした仕事」と取り違え、断熱膨張で $Δ U = W > 0$ として温度が上がるとしてしまう誤り。正しくは、 $Δ U = Q + W$ の $W$ は外部からされた仕事です。膨張では $W < 0$ になります。
定圧変化でも定積変化と同じく $Q = Δ U$ としてしまう誤り。正しくは、 $p Δ V = n R Δ T$ より $Q = Δ U + p Δ V = Δ U + n R Δ T$ です。加熱（ $Q > 0$ ）で温度が上がると気体は膨張して仕事 $p Δ V > 0$ をするので、同じだけ温度を上げるのに定積変化より多くの熱が必要です。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
なめらかに動くピストンのついたシリンダーに一定量の理想気体を閉じこめ、次のア〜オのように状態をゆっくり変化させる。ア〜オは、それぞれ同じはじめの状態から行うものとする。ア〜オのうち、変化の後に気体の温度がはじめより高くなっているものを 1 つ選べ。
- ア　温度を一定に保ったまま、気体を膨張させる。
- イ　体積を一定に保ったまま、気体から熱を放出させる。
- ウ　外部との熱のやりとりがないようにして、気体を膨張させる。
- エ　圧力を一定に保ったまま、気体を圧縮する。
- オ　外部との熱のやりとりがないようにして、気体を圧縮する。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

断熱変化と雲のでき方（高校地学大気と気象（知識））