熱機関と熱効率

熱機関が高温の物体から受け取った熱の一部を仕事に変え残りを低温の物体へ放出すること、熱効率 $e = \frac{W}{Q _{1}}$ がつねに 1 より小さいことを判定できる

前提

熱力学第一法則（高校物理熱と気体（知識））

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熱力学第一法則（高校物理熱と気体（知識））

説明

熱機関とは、ガソリンエンジンや蒸気機関のように、熱を受け取って外部に仕事をし、これをくり返す装置です。この技能を身につけると、熱機関では高温の物体から受け取った熱 $Q_{1}$ の一部だけが仕事 $W$ になり、残り $Q_{2}$ は低温の物体へ捨てられることを説明できます。また、熱効率 $e = \frac{W}{Q _{1}}$ がつねに 1 より小さいことを使って、熱機関について述べた文の正誤を判定できます。

なぜそうしてよいのか

熱機関の中では、気体などの物質（作業物質）が、加熱・膨張・冷却・圧縮の過程をくり返します。ひとまわりしてもとの状態に戻る一連の変化を 1 サイクルといいます。もとの状態に戻るので、温度ももとに戻ります。そのため、1 サイクルでの内部エネルギーの変化は $Δ U = 0$ です。

熱力学第一法則 $Δ U = Q + W_{された}$ を 1 サイクル全体にあてはめます。気体が高温の物体から受け取る熱量を $Q_{1}$ 、低温の物体へ放出する熱量を $Q_{2}$ とすると、差し引きで吸収した熱量は $Q_{1} - Q_{2}$ です。また、気体が外部にした正味の仕事を $W$ とすると、外部からされた仕事は $- W$ になります。よって $0 = (Q_{1} - Q_{2}) + (- W)$ となり、 $W = Q_{1} - Q_{2}$ が成り立ちます。つまり、受け取った熱のうち、捨てた熱の分を除いた残りだけが仕事になります。このとき熱効率は $e = \frac{W}{Q _{1}} = \frac{Q _{1} - Q _{2}}{Q _{1}} = 1 - \frac{Q _{2}}{Q _{1}}$ です。

もし $Q_{2} = 0$ にできれば $e = 1$ になります。しかし、熱を低温の物体へまったく捨てずにくり返し動き続ける熱機関は、どんなにくふうしても実現できないことが経験的に知られています（熱力学第二法則の一つの表現）。摩擦などの損失をなくした理想的な熱機関でも、 $Q_{2} > 0$ は避けられません。したがって $W < Q_{1}$ であり、熱効率はつねに $e < 1$ です。

手順

熱機関の 1 サイクルでのエネルギーの出入りを整理する。高温の物体から受け取る熱量を $Q_{1}$ 、外部にする仕事を $W$ 、低温の物体へ放出する熱量を $Q_{2}$ とする（どれも正の量）。
1 サイクルではもとの状態に戻るので $Δ U = 0$ 。第一法則から $W = Q_{1} - Q_{2}$ が成り立つことを確認する。
熱効率を $e = \frac{W}{Q _{1}} = 1 - \frac{Q _{2}}{Q _{1}}$ で表す。分母は受け取った熱 $Q_{1}$ であり、放出した熱 $Q_{2}$ ではない。
熱を低温の物体へ捨てずに動き続ける熱機関はつくれない（ $Q_{2} > 0$ ）。このことから $W < Q_{1}$ 、つまり $e < 1$ であることを使って、選択肢の正誤を判定する。

例題

熱機関について述べた文として正しいものを、次のア〜エのうちから 1 つ選べ。
ア　熱機関は、高温の物体から受け取った熱をすべて仕事に変えることができる。
イ　熱機関が 1 サイクルの間に外部にした仕事は、高温の物体から受け取った熱量と、低温の物体へ放出した熱量の差に等しい。
ウ　摩擦などによる損失をすべてなくした理想的な熱機関であれば、熱効率を 1 にすることができる。
エ　熱機関が 1 サイクルの間に高温の物体から受け取る熱量は、外部にした仕事よりも小さい。

例題の解答

手順 1：高温の物体から受け取る熱量を $Q_{1}$ 、外部にする仕事を $W$ 、低温の物体へ放出する熱量を $Q_{2}$ とします。
手順 2：1 サイクルでは $Δ U = 0$ なので、 $W = Q_{1} - Q_{2}$ です。よって、イの「仕事は受け取った熱量と放出した熱量の差に等しい」は正しいです。
手順 3：熱効率は $e = \frac{W}{Q _{1}} = 1 - \frac{Q _{2}}{Q _{1}}$ です。
手順 4：熱機関は必ず熱 $Q_{2} > 0$ を低温の物体へ捨てるので、 $W < Q_{1}$ 、つまり $e < 1$ です。
・アは、受け取った熱をすべて仕事にする（ $Q_{2} = 0$ ）と言っているので誤りです。
・ウは、損失をなくしても $Q_{2} > 0$ は避けられず $e < 1$ なので誤りです。
・エは、 $Q_{1} = W + Q_{2} > W$ なので、大小が逆になっていて誤りです。
したがって、正しいものはイです。

答え:

イ

よくある誤り

熱効率の分母を放出した熱にして $e = \frac{W}{Q _{2}}$ としてしまう誤り。正しくは、受け取った熱を分母にして $e = \frac{W}{Q _{1}} = 1 - \frac{Q _{2}}{Q _{1}}$ となる。
受け取った熱と放出した熱を足して $W = Q_{1} + Q_{2}$ としてしまう誤り。正しくは、放出した熱の分だけ仕事にならないので $W = Q_{1} - Q_{2}$ となる。
摩擦や熱の漏れをなくした理想的な熱機関なら $e = 1$ になる、としてしまう誤り。正しくは、どんな熱機関でも低温の物体へ熱を捨てる（ $Q_{2} > 0$ ）ので、つねに $e < 1$ である。
第一法則 $Δ U = Q + W$ の $W$ （気体が外部からされた仕事）と、熱効率の $W$ （気体が外部にした仕事）を同じ符号のまま使い、 $0 = (Q_{1} - Q_{2}) + W$ から $W = Q_{2} - Q_{1}$ としてしまう誤り。正しくは、外部からされた仕事は $- W$ なので $0 = (Q_{1} - Q_{2}) - W$ となり、 $W = Q_{1} - Q_{2}$ である。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
ある熱機関は、1 サイクルの間に、高温の物体から熱量 $Q_{1}$ を受け取り、外部に仕事 $W$ をし、低温の物体に熱量 $Q_{2}$ を放出して、もとの状態にもどる。ただし、 $Q_{1}$ , $W$ , $Q_{2}$ はいずれも正の量とする。この熱機関について述べた文として正しいものを、次のア〜エのうちから 1 つ選べ。
- ア　1 サイクルの間に外部にした仕事 $W$ は、受け取った熱量 $Q_{1}$ より大きい。
- イ　低温の物体に放出する熱量 $Q_{2}$ を 0 にして、受け取った熱量をすべて仕事に変える熱機関をつくることができる。
- ウ　1 サイクルの間に外部にした仕事は、 $W = Q_{1} - Q_{2}$ と表される。
- エ　1 サイクルが終わると、熱機関の中の気体の内部エネルギーは、サイクルを始める前より $Q_{1}$ だけ増えている。

この技能を使う問題

	a	b
ア	大きい	可逆変化
イ	大きい	不可逆変化
ウ	小さい	可逆変化
エ	小さい	不可逆変化

この技能の次に学べること

可逆変化・不可逆変化と熱力学第二法則（高校物理熱と気体（知識））