熱力学の問題

物質量 $n$ の気体が、状態方程式
$$P=\frac{nRT}{V-nb}$$
に従うとする（$R$ は気体定数、$b$ は正の定数で、$V>nb$ の範囲を考える）。この気体を温度 $T$ を一定に保ったまま、体積 $2nb$ から $3nb$ まで準静的に膨張させた。このときの気体のエントロピー変化 $\Delta S$ を、$n$, $R$ を用いて表せ。ただし $\log$ は自然対数とする。

物質量 $n$ の単原子分子理想気体（比熱比 $\gamma =\frac{5}{3}$）に、次の 4 つの準静的過程からなるカルノーサイクル $\mathrm{A}\to \mathrm{B}\to \mathrm{C}\to \mathrm{D}\to \mathrm{A}$ を行わせる。

• $\mathrm{A}\to \mathrm{B}$: 温度 $T$ の高温熱源に接したまま、体積 $V_0$ から $2V_0$ まで等温膨張する
• $\mathrm{B}\to \mathrm{C}$: 体積 $2V_0$ から $16V_0$ まで断熱膨張する
• $\mathrm{C}\to \mathrm{D}$: 低温熱源に接したまま等温圧縮する
• $\mathrm{D}\to \mathrm{A}$: 断熱圧縮してもとの状態 $\mathrm{A}$ にもどる

気体定数を $R$ とする。このサイクル 1 回で気体が外部にする正味の仕事 $W$ を、$n$, $R$, $T$ を用いて表せ。ただし $\log$ は自然対数とする。

温度によらない一定の熱容量 $C$ をもつ物体（体積変化は無視できる）が、はじめ絶対温度 $T_0$ にある。この物体を、絶対温度 $2T_0$ に保たれた十分大きな熱源に接触させたところ、物体の温度は $2T_0$ になって熱平衡に達した。熱は物体と熱源の間でだけやりとりされ、物体は仕事をしないものとする。この過程での、物体と熱源を合わせた全エントロピー変化 $\Delta S_{\mathrm{total}}$ を $C$ を用いて表せ。ただし $\log$ は自然対数とする。

$n$ mol の 2 原子分子理想気体（定積モル比熱 $C_V=\frac{5}{2}R$、$R$ は気体定数）が、なめらかに動くピストンのついたシリンダーに入っている。はじめの状態は体積 $V_0$、絶対温度 $T_0$ である（$V_0>0,T_0>0$）。この気体を、圧力 $P$ が体積 $V$ に比例する関係 $P=\alpha V$（$\alpha$ は正の定数）を保ちながら準静的に変化させ、体積を $2V_0$ にした。

この過程で気体が外部から吸収した熱量 $Q$ を、$n,R,T_0$ を用いて表せ。

単原子分子理想気体が、圧力 $P_0$、体積 $V_0$ の状態から、関係式
$$P{V}^2=P_0{V}_0^2(\text{一定})$$
を保ちながら準静的に膨張し、体積が $2V_0$ になった（$P_0>0$, $V_0>0$）。単原子分子理想気体の内部エネルギーは $U=\frac{3}{2}PV$ で表されるものとする。この過程で気体が吸収した熱量 $Q$ を $P_0$, $V_0$ を用いて表せ。ただし、気体が熱を放出した場合は $Q$ を負の値で表すものとする。