熱力学の問題

温度によらない同じ一定の熱容量 $C$ をもつ 2 つの物体 A, B がある（体積変化は無視できる）。はじめ A の絶対温度は $4T_0$、B の絶対温度は $T_0$ である（$C>0$, $T_0>0$）。A を高温熱源、B を低温熱源として熱機関をはたらかせ、2 つの物体が同じ温度になるまで仕事を取り出す。熱機関はサイクルとして動作し、熱は A, B と熱機関の間でだけやりとりされるものとする。取り出せる仕事の最大値 $W_{\max }$ を、$C$, $T_0$ を用いて表せ。

熱容量 $C$（$C>0$、温度によらない定数）の金属球が、温度 $2T_0$ に熱せられている（$T_0>0$）。この金属球を、温度 $T_0$ に保たれた大きな水槽（熱源とみなせる）の中に入れ、熱平衡に達するまで放置した。

この間の、金属球と水槽を合わせた全体のエントロピー変化 $\Delta S_{\text{total}}$ を $C$ を用いて求めよ。ただし、金属球の体積変化は無視でき、金属球と水槽の間以外の熱のやりとりはないものとする。

低温の結晶性固体の熱容量は、考える温度範囲で $$C(T)=a{T}^3$$ と表されるとする（デバイの $T^3$ 則）。ここで $T$ は絶対温度、$a$ は正の定数である。固体の体積変化は無視する。

はじめ温度 $T_0$（$T_0>0$）の熱平衡状態にあるこの固体を、温度 $2T_0$ に保たれた熱源（熱容量が十分大きく、温度が変わらないとみなせる）に接触させた。固体と熱源の間だけで熱がやりとりされ、やがて固体は温度 $2T_0$ の熱平衡状態に達した。$T_0$ から $2T_0$ までの温度範囲で、上の熱容量の式が成り立つものとする。

この過程での、固体と熱源を合わせた系全体のエントロピー変化を、$a$, $T_0$ を用いて表せ。

物質量 $n$ の単原子分子理想気体（定積モル比熱 $C_V=\frac{3}{2}R$、$R$ は気体定数）が、温度 $T_0$・体積 $V_0$ の状態から、温度 $2T_0$・体積 $4V_0$ の状態に変化した。この変化による気体のエントロピー変化 $\Delta S$ を、$n$, $R$ を用いて表せ。ただし $\log$ は自然対数とする。

物質量 $n$ の気体が、状態方程式
$$P=\frac{nRT}{V-nb}$$
に従うとする（$R$ は気体定数、$b$ は正の定数で、$V>nb$ の範囲を考える）。この気体を温度 $T$ を一定に保ったまま、体積 $2nb$ から $3nb$ まで準静的に膨張させた。このときの気体のエントロピー変化 $\Delta S$ を、$n$, $R$ を用いて表せ。ただし $\log$ は自然対数とする。